Страница 237 номер 1299, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Имеются два сосуда: первый сосуд содержит 20 килограммов раствора кислоты, а второй — 30 килограммов. Концентрация кислоты в растворах может различаться. Если смешать всё содержимое двух сосудов, то получится раствор, содержащий 56 % кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 60 % кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?
Дано:
\(m_1 = 20\) кг — раствор кислоты в первом сосуде
\(m_2 = 30\) кг — раствор кислоты во втором сосуде
смесь всего содержимого — 56 %-й раствор
смесь равных масс — 60 %-й раствор
Найти: массу кислоты в первом сосуде.
Решение:
Пусть кислота составляет долю \(x\) массы первого раствора и \(y\) — второго: в сосудах \(20x\) кг и \(30y\) кг кислоты.
\(20 + 30 = 50\) (кг) — вся смесь, кислоты в ней \(0{,}56 \cdot 50 = 28\) (кг): \(20x + 30y = 28\).
По \(m\) кг каждого раствора: \(m(x + y) = 0{,}6 \cdot 2m\), откуда \(x + y = 1{,}2\) — какие равные массы взяты, значения не имеет.
\[\begin{cases} 20x + 30y = 28, \\ x + y = 1{,}2. \end{cases}\]
Из второго уравнения \(y = 1{,}2 - x\): \(20x + 30(1{,}2 - x) = 28\); \(20x + 36 - 30x = 28\); \(-10x = -8\); \(x = 0{,}8\).
\(y = 1{,}2 - 0{,}8 = 0{,}4\).
\(20 \cdot 0{,}8 = 16\) (кг) — кислоты в первом сосуде.
Проверка: во втором сосуде \(30 \cdot 0{,}4 = 12\) (кг), в смеси \(16 + 12 = 28\) (кг), \(28 : 50 = 0{,}56\) — 56 %. По 10 кг каждого: \(10 \cdot 0{,}8 + 10 \cdot 0{,}4 = 12\) (кг) на 20 кг смеси, \(12 : 20 = 0{,}6\) — 60 %.
Ответ: в первом сосуде содержится 16 кг кислоты.
Имеются два сосуда: первый сосуд содержит 20 килограммов раствора кислоты, а второй — 30 килограммов. Концентрация кислоты в растворах может различаться. Если смешать всё содержимое двух сосудов, то получится раствор, содержащий 56 % кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 60 % кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?
Дано:
\(m_1 = 20\) кг — раствор кислоты в первом сосуде
\(m_2 = 30\) кг — раствор кислоты во втором сосуде
смесь всего содержимого — 56 %-й раствор
смесь равных масс — 60 %-й раствор
Найти: массу кислоты в первом сосуде.
Решение:
Пусть кислота составляет долю \(x\) массы первого раствора и долю \(y\) массы второго. Тогда в первом сосуде содержится \(20x\) кг кислоты, а во втором — \(30y\) кг.
Если смешать всё содержимое сосудов, получится \(20 + 30 = 50\) (кг) раствора, в котором кислоты \(20x + 30y\) кг. По условию кислота составляет в нём 56 %, то есть \(0{,}56 \cdot 50 = 28\) (кг): \(20x + 30y = 28\).
Если взять по \(m\) килограммов каждого раствора, то кислоты в смеси будет \(mx + my = m(x + y)\) кг, а всей смеси \(2m\) кг, и кислота составит 60 % её массы: \(m(x + y) = 0{,}6 \cdot 2m\). Разделим обе части на \(m\) и получим \(x + y = 1{,}2\); какие именно равные массы взяты, значения не имеет.
\[\begin{cases} 20x + 30y = 28, \\ x + y = 1{,}2. \end{cases}\]
Из второго уравнения \(y = 1{,}2 - x\). Подставим это выражение в первое уравнение:
\[\begin{aligned} &20x + 30(1{,}2 - x) = 28; \\ &20x + 36 - 30x = 28; \\ &-10x = -8; \\ &x = 0{,}8. \end{aligned}\]
Тогда \(y = 1{,}2 - 0{,}8 = 0{,}4\).
Значит, первый раствор 80 %-й, и кислоты в первом сосуде \(20 \cdot 0{,}8 = 16\) (кг).
Проверка: во втором сосуде кислоты \(30 \cdot 0{,}4 = 12\) (кг), в смеси всего содержимого её \(16 + 12 = 28\) (кг), а это \(28 : 50 = 0{,}56\), то есть 56 % массы смеси. Если взять по 10 кг каждого раствора, кислоты будет \(10 \cdot 0{,}8 + 10 \cdot 0{,}4 = 8 + 4 = 12\) (кг) на 20 кг смеси, а это \(12 : 20 = 0{,}6\), то есть 60 %. Оба условия выполнены.
Ответ: в первом сосуде содержится 16 кг кислоты.
