Страница 237 номер 1296, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Дано:
общая длина горизонтальных участков — 16 км
скорость на горизонтальных участках — 12 км/ч
скорость на подъёмах — 6 км/ч
скорость на спусках — 15 км/ч
путь из А в Б — 3 ч 20 мин
обратный путь — на 12 мин больше

Найти: общую длину спусков и общую длину подъёмов при движении из А в Б.

Решение:

Переведём время в часы: 20 минут — это \(\frac{1}{3}\) часа, поэтому 3 ч 20 мин \(= 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}\) (ч); 12 минут — это \(\frac{12}{60} = \frac{1}{5}\) (ч).

Дорога туда и обратно одна и та же, поэтому горизонтальные участки в каждую сторону имеют общую длину 16 км, и времени на них уходит \(16 : 12 = \frac{4}{3}\) (ч).

На подъёмы и спуски по дороге из А в Б остаётся \(\frac{10}{3} - \frac{4}{3} = 2\) (ч).

Обратный путь занял \(\frac{10}{3} + \frac{1}{5} = \frac{53}{15}\) (ч), и на подъёмы и спуски в нём пришлось \(\frac{53}{15} - \frac{4}{3} = \frac{33}{15} = 2{,}2\) (ч).

Пусть при движении из А в Б общая длина подъёмов равна \(x\) км, а общая длина спусков равна \(y\) км. Подъёмы велосипедист проезжает за \(\frac{x}{6}\) ч, спуски — за \(\frac{y}{15}\) ч, а вместе за 2 часа: \(\frac{x}{6} + \frac{y}{15} = 2\).

На обратном пути каждый подъём становится спуском, а каждый спуск — подъёмом, поэтому подъёмов на нём \(y\) км, а спусков \(x\) км, и времени они занимают \(2{,}2\) ч: \(\frac{x}{15} + \frac{y}{6} = 2{,}2\).

Умножим оба уравнения системы на 30, чтобы избавиться от дробей:

\[\begin{cases} \frac{x}{6} + \frac{y}{15} = 2, \\ \frac{x}{15} + \frac{y}{6} = 2{,}2; \end{cases} \qquad \begin{cases} 5x + 2y = 60, \\ 2x + 5y = 66. \end{cases}\]

Умножим первое уравнение на 5, а второе на \(-2\) — коэффициенты при \(y\) станут противоположными:

\[\begin{cases} 25x + 10y = 300, \\ -4x - 10y = -132. \end{cases}\]

Сложим уравнения:

\[(25x + 10y) + (-4x - 10y) = 300 - 132; \qquad 21x = 168; \qquad x = 8.\]

Подставим \(x = 8\) в уравнение \(5x + 2y = 60\): \(40 + 2y = 60\); \(2y = 20\); \(y = 10\).

Проверка: из А в Б велосипедист едет \(\frac{16}{12} + \frac{8}{6} + \frac{10}{15} = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} + \frac{2}{3} = \frac{10}{3}\) (ч), то есть 3 ч 20 мин; обратно — \(\frac{16}{12} + \frac{10}{6} + \frac{8}{15} = \frac{20}{15} + \frac{25}{15} + \frac{8}{15} = \frac{53}{15}\) (ч), что на \(\frac{53}{15} - \frac{10}{3} = \frac{1}{5}\) (ч), то есть на 12 минут, больше. Оба условия выполнены.

Ответ: общая длина спусков при движении из А в Б равна 10 км, общая длина подъёмов — 8 км.