Страница 237 номер 1294, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Дано:
4 ч по течению реки и 2 ч по озеру — 162 км
5 ч против течения — на 35 км больше, чем 3 ч по озеру

Найти: скорость катера в стоячей воде и скорость течения реки.

Решение:

Пусть \(x\) км/ч — скорость катера в стоячей воде, \(y\) км/ч — скорость течения реки. По озеру катер идёт со скоростью \(x\) км/ч, по течению реки — со скоростью \((x + y)\) км/ч, против течения — со скоростью \((x - y)\) км/ч.

За 4 часа по течению катер проходит \(4(x + y)\) км, за 2 часа по озеру — \(2x\) км, а всего 162 км: \(4(x + y) + 2x = 162\).

За 5 часов против течения катер проходит \(5(x - y)\) км, за 3 часа по озеру — \(3x\) км, и первое расстояние на 35 км больше: \(5(x - y) = 3x + 35\).

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые в каждом уравнении:

\[\begin{cases} 4x + 4y + 2x = 162, \\ 5x - 5y = 3x + 35; \end{cases} \qquad \begin{cases} 6x + 4y = 162, \\ 2x - 5y = 35. \end{cases}\]

Разделим первое уравнение на 2, затем умножим первое уравнение на 5, а второе на 2 — коэффициенты при \(y\) станут противоположными:

\[\begin{cases} 3x + 2y = 81, \\ 2x - 5y = 35; \end{cases} \qquad \begin{cases} 15x + 10y = 405, \\ 4x - 10y = 70. \end{cases}\]

Сложим уравнения:

\[(15x + 10y) + (4x - 10y) = 405 + 70; \qquad 19x = 475; \qquad x = 25.\]

Подставим \(x = 25\) в уравнение \(3x + 2y = 81\): \(75 + 2y = 81\); \(2y = 6\); \(y = 3\).

Проверка: скорость по течению равна \(25 + 3 = 28\) (км/ч), и за 4 часа катер пройдёт \(4 \cdot 28 = 112\) (км), а за 2 часа по озеру — \(2 \cdot 25 = 50\) (км); вместе \(112 + 50 = 162\) (км). Скорость против течения равна \(25 - 3 = 22\) (км/ч), за 5 часов это \(5 \cdot 22 = 110\) (км), а за 3 часа по озеру — \(3 \cdot 25 = 75\) (км), и \(110 - 75 = 35\) (км). Оба условия выполнены.

Ответ: скорость катера в стоячей воде 25 км/ч, скорость течения реки 3 км/ч.