Страница 237 номер 1293, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 80 километров, навстречу друг другу по прямой должны выехать два велосипедиста, скорости которых постоянны. Если второй велосипедист выедет на 3 часа позже первого, то он встретит первого велосипедиста через 2 часа после начала своего движения. Если второй велосипедист выедет на 2 часа раньше первого, то он встретит первого велосипедиста через 4 часа после начала своего движения. Найдите скорость каждого велосипедиста.
Дано:
\(s = 80\) км — расстояние между пунктами
велосипедисты выезжают навстречу друг другу
второй выехал на 3 ч позже — встреча через 2 ч после его выезда
второй выехал на 2 ч раньше — встреча через 4 ч после его выезда
Найти: скорость каждого велосипедиста.
Решение:
Пусть \(x\) км/ч — скорость первого велосипедиста, \(y\) км/ч — скорость второго.
Первый случай: второй в пути 2 ч — \(2y\) км, первый \(3 + 2 = 5\) (ч) — \(5x\) км, вместе 80 км: \(5x + 2y = 80\).
Второй случай: второй в пути 4 ч — \(4y\) км, первый \(4 - 2 = 2\) (ч) — \(2x\) км, вместе 80 км: \(2x + 4y = 80\).
\[\begin{cases} 5x + 2y = 80, \\ 2x + 4y = 80; \end{cases} \qquad \begin{cases} 5x + 2y = 80, \\ x + 2y = 40. \end{cases}\]
\[(5x + 2y) + (-x - 2y) = 80 - 40; \qquad 4x = 40; \qquad x = 10.\]
\(10 + 2y = 40\); \(2y = 30\); \(y = 15\).
Проверка: \(5 \cdot 10 + 2 \cdot 15 = 80\) (км) и \(2 \cdot 10 + 4 \cdot 15 = 80\) (км) — оба условия выполнены.
Ответ: скорость первого велосипедиста 10 км/ч, скорость второго 15 км/ч.
Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 80 километров, навстречу друг другу по прямой должны выехать два велосипедиста, скорости которых постоянны. Если второй велосипедист выедет на 3 часа позже первого, то он встретит первого велосипедиста через 2 часа после начала своего движения. Если второй велосипедист выедет на 2 часа раньше первого, то он встретит первого велосипедиста через 4 часа после начала своего движения. Найдите скорость каждого велосипедиста.
Дано:
\(s = 80\) км — расстояние между пунктами
велосипедисты выезжают навстречу друг другу
второй выехал на 3 ч позже — встреча через 2 ч после его выезда
второй выехал на 2 ч раньше — встреча через 4 ч после его выезда
Найти: скорость каждого велосипедиста.
Решение:
Пусть \(x\) км/ч — скорость первого велосипедиста, \(y\) км/ч — скорость второго.
В первом случае второй велосипедист был в пути 2 часа и проехал \(2y\) км, а первый выехал на 3 часа раньше, поэтому был в пути \(3 + 2 = 5\) (ч) и проехал \(5x\) км. Двигаясь навстречу друг другу, вместе они покрыли всё расстояние между пунктами: \(5x + 2y = 80\).
Во втором случае второй велосипедист был в пути 4 часа и проехал \(4y\) км, а первый выехал на 2 часа позже, поэтому был в пути \(4 - 2 = 2\) (ч) и проехал \(2x\) км. Вместе снова 80 километров: \(2x + 4y = 80\).
\[\begin{cases} 5x + 2y = 80, \\ 2x + 4y = 80. \end{cases}\]
Разделим второе уравнение на 2, а затем умножим его на \(-1\) — коэффициенты при \(y\) станут противоположными:
\[\begin{cases} 5x + 2y = 80, \\ x + 2y = 40; \end{cases} \qquad \begin{cases} 5x + 2y = 80, \\ -x - 2y = -40. \end{cases}\]
Сложим уравнения:
\[(5x + 2y) + (-x - 2y) = 80 - 40; \qquad 4x = 40; \qquad x = 10.\]
Подставим \(x = 10\) в уравнение \(x + 2y = 40\): \(10 + 2y = 40\); \(2y = 30\); \(y = 15\).
Проверка: в первом случае велосипедисты проедут \(5 \cdot 10 + 2 \cdot 15 = 50 + 30 = 80\) (км), во втором — \(2 \cdot 10 + 4 \cdot 15 = 20 + 60 = 80\) (км). Оба условия выполнены.
Ответ: скорость первого велосипедиста 10 км/ч, скорость второго 15 км/ч.
