Страница 235 номер 1284, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите координаты точки пересечения прямых, заданных уравнениями \(4y - x = 10\), \(5x + y = 13\) и \(5y - 3x = 9\).
Искомая точка — решение системы
\[\begin{cases} 4y - x = 10, \\ 5x + y = 13, \\ 5y - 3x = 9. \end{cases}\]
Решим первые два уравнения:
\[\begin{cases} 4(13 - 5x) - x = 10, \\ y = 13 - 5x; \end{cases} \qquad \begin{cases} 52 - 20x - x = 10, \\ y = 13 - 5x; \end{cases} \qquad \begin{cases} -21x = -42, \\ y = 13 - 5x; \end{cases} \qquad \begin{cases} x = 2, \\ y = 3. \end{cases}\]
\(5 \cdot 3 - 3 \cdot 2 = 15 - 6 = 9\) — пара \((2; 3)\) удовлетворяет и третьему уравнению.
Проверка: \(4 \cdot 3 - 2 = 12 - 2 = 10\) — верно; \(5 \cdot 2 + 3 = 13\) — верно.
Ответ: \((2; 3)\).
Найдите координаты точки пересечения прямых, заданных уравнениями \(4y - x = 10\), \(5x + y = 13\) и \(5y - 3x = 9\).
Точка, принадлежащая всем трём прямым, — это решение системы
\[\begin{cases} 4y - x = 10, \\ 5x + y = 13, \\ 5y - 3x = 9. \end{cases}\]
Решим систему, составленную из первых двух уравнений. Во втором уравнении коэффициент при \(y\) равен 1, поэтому выразим \(y\) через \(x\) и подставим полученное выражение в первое уравнение:
\[\begin{cases} 4(13 - 5x) - x = 10, \\ y = 13 - 5x; \end{cases} \qquad \begin{cases} 52 - 20x - x = 10, \\ y = 13 - 5x. \end{cases}\]
Решим первое уравнение полученной системы и найдём значение \(y\):
\[\begin{cases} -21x = -42, \\ y = 13 - 5x; \end{cases} \qquad \begin{cases} x = 2, \\ y = 3. \end{cases}\]
Подставим пару \((2; 3)\) в третье уравнение: \(5 \cdot 3 - 3 \cdot 2 = 15 - 6 = 9\) — равенство верное. Значит, все три прямые проходят через одну точку.
Проверка: \(4 \cdot 3 - 2 = 12 - 2 = 10\) — верно; \(5 \cdot 2 + 3 = 13\) — верно.
Ответ: \((2; 3)\).
