Страница 235 номер 1282, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
На рисунке 217 изображены прямые, заданные уравнениями соответствующих систем. Какие из систем имеют решение?
1) \(\begin{cases} 3y - x = 2, \\ 2x - y = 3, \\ x = -2 \end{cases}\) 2) \(\begin{cases} y - 3x = 4, \\ x + y = 0, \\ x - 2y = 7 \end{cases}\) 3) \(\begin{cases} y = 3, \\ y + 1 = x, \\ x + 5 = 3y \end{cases}\) 4) \(\begin{cases} 4y - x + 7 = 0, \\ y = 3x + 2, \\ y + 2 = -x \end{cases}\)
В каждой системе решим два уравнения и подставим найденную пару в третье.
1) \(x = -2\), тогда \(3y + 2 = 2\); \(3y = 0\); \(y = 0\). Во втором уравнении \(2 \cdot (-2) - 0 = -4\), а в правой части 3 — равенство неверное: решений нет.
2) \(y = -x\), тогда \(-x - 3x = 4\); \(-4x = 4\); \(x = -1\), \(y = 1\). В третьем уравнении \(-1 - 2 \cdot 1 = -3\), а в правой части 7 — равенство неверное: решений нет.
3) \(y = 3\), тогда \(x = y + 1 = 4\). В третьем уравнении \(4 + 5 = 9\) и \(3 \cdot 3 = 9\) — равенство верное: пара \((4; 3)\) является решением.
4) \(y = 3x + 2\) и \(y = -x - 2\), откуда \(3x + 2 = -x - 2\); \(4x = -4\); \(x = -1\), \(y = -1\). В первом уравнении \(4 \cdot (-1) - (-1) + 7 = -4 + 1 + 7 = 4\), а в правой части 0 — равенство неверное: решений нет.
Ответ: решение имеет только система 3), её решение — пара \((4; 3)\).
На рисунке 217 изображены прямые, заданные уравнениями соответствующих систем. Какие из систем имеют решение?
1) \(\begin{cases} 3y - x = 2, \\ 2x - y = 3, \\ x = -2 \end{cases}\) 2) \(\begin{cases} y - 3x = 4, \\ x + y = 0, \\ x - 2y = 7 \end{cases}\) 3) \(\begin{cases} y = 3, \\ y + 1 = x, \\ x + 5 = 3y \end{cases}\) 4) \(\begin{cases} 4y - x + 7 = 0, \\ y = 3x + 2, \\ y + 2 = -x \end{cases}\)
Система трёх линейных уравнений с двумя переменными имеет решение тогда, когда все три прямые проходят через одну точку. Чтобы это выяснить, в каждой системе решим два уравнения и подставим найденную пару в третье уравнение.
1) Из третьего уравнения \(x = -2\). Подставим это значение в первое уравнение: \(3y + 2 = 2\); \(3y = 0\); \(y = 0\). Подставим пару \((-2; 0)\) во второе уравнение: \(2 \cdot (-2) - 0 = -4\), а в правой части стоит 3 — равенство неверное. Значит, у первой системы решений нет.
2) Из второго уравнения \(y = -x\). Подставим это выражение в первое уравнение: \(-x - 3x = 4\); \(-4x = 4\); \(x = -1\), тогда \(y = 1\). Подставим пару \((-1; 1)\) в третье уравнение: \(-1 - 2 \cdot 1 = -3\), а в правой части стоит 7 — равенство неверное. Значит, у второй системы решений нет.
3) Из первого уравнения \(y = 3\), тогда из второго уравнения \(x = y + 1 = 4\). Подставим пару \((4; 3)\) в третье уравнение: \(4 + 5 = 9\) и \(3 \cdot 3 = 9\) — равенство верное. Значит, пара \((4; 3)\) является решением третьей системы.
4) Из второго уравнения \(y = 3x + 2\), из третьего \(y = -x - 2\). Приравняем эти выражения: \(3x + 2 = -x - 2\); \(4x = -4\); \(x = -1\), тогда \(y = -1\). Подставим пару \((-1; -1)\) в первое уравнение: \(4 \cdot (-1) - (-1) + 7 = -4 + 1 + 7 = 4\), а в правой части стоит 0 — равенство неверное. Значит, у четвёртой системы решений нет.
Общую точку имеют только прямые третьей системы — это точка \((4; 3)\).
Ответ: решение имеет только система 3), её решение — пара \((4; 3)\).
