Страница 235 номер 1281, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите координаты точки пересечения прямых, заданных уравнениями \(y - 3x = -10\), \(5x + 3y = 12\) и \(2x - 5y = 11\).
Искомая точка — решение системы
\[\begin{cases} y - 3x = -10, \\ 5x + 3y = 12, \\ 2x - 5y = 11. \end{cases}\]
Решим первые два уравнения:
\[\begin{cases} y = 3x - 10, \\ 5x + 3(3x - 10) = 12; \end{cases} \qquad \begin{cases} y = 3x - 10, \\ 5x + 9x - 30 = 12; \end{cases} \qquad \begin{cases} y = 3x - 10, \\ 14x = 42; \end{cases} \qquad \begin{cases} x = 3, \\ y = -1. \end{cases}\]
\(2 \cdot 3 - 5 \cdot (-1) = 6 + 5 = 11\) — пара \((3; -1)\) удовлетворяет и третьему уравнению.
Проверка: \(-1 - 3 \cdot 3 = -1 - 9 = -10\) — верно; \(5 \cdot 3 + 3 \cdot (-1) = 15 - 3 = 12\) — верно.
Ответ: \((3; -1)\).
Найдите координаты точки пересечения прямых, заданных уравнениями \(y - 3x = -10\), \(5x + 3y = 12\) и \(2x - 5y = 11\).
Точка, принадлежащая всем трём прямым, — это пара чисел, удовлетворяющая всем трём уравнениям, то есть решение системы
\[\begin{cases} y - 3x = -10, \\ 5x + 3y = 12, \\ 2x - 5y = 11. \end{cases}\]
Решим систему, составленную из первых двух уравнений. В первом уравнении коэффициент при \(y\) равен 1, поэтому выразим \(y\) через \(x\) и подставим полученное выражение во второе уравнение:
\[\begin{cases} y = 3x - 10, \\ 5x + 3(3x - 10) = 12; \end{cases} \qquad \begin{cases} y = 3x - 10, \\ 5x + 9x - 30 = 12. \end{cases}\]
Решим второе уравнение полученной системы и найдём значение \(y\):
\[\begin{cases} y = 3x - 10, \\ 14x = 42; \end{cases} \qquad \begin{cases} x = 3, \\ y = -1. \end{cases}\]
Подставим пару \((3; -1)\) в третье уравнение: \(2 \cdot 3 - 5 \cdot (-1) = 6 + 5 = 11\) — равенство верное. Значит, все три прямые проходят через одну точку.
Проверка: \(-1 - 3 \cdot 3 = -1 - 9 = -10\) — верно; \(5 \cdot 3 + 3 \cdot (-1) = 15 - 3 = 12\) — верно.
Ответ: \((3; -1)\).
