Страница 235 номер 1278, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Проходят ли прямые \(3x + 2y = -4\), \(x - 5y = -7\) и \(y - 4x = 9\) через одну точку?
\[\begin{cases} 3x + 2y = -4, \\ x - 5y = -7; \end{cases} \qquad \begin{cases} 3(5y - 7) + 2y = -4, \\ x = 5y - 7; \end{cases} \qquad \begin{cases} 15y - 21 + 2y = -4, \\ x = 5y - 7. \end{cases}\]
\(17y = 17\), откуда \(y = 1\), тогда \(x = 5 \cdot 1 - 7 = -2\) — первые две прямые пересекаются в точке \((-2; 1)\).
Третья прямая: \(1 - 4 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\) — верно, прямая \(y - 4x = 9\) проходит через ту же точку.
Проверка: \(3 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 = -6 + 2 = -4\) и \(-2 - 5 \cdot 1 = -7\) — точка \((-2; 1)\) лежит и на первых двух прямых.
Ответ: да, все три прямые проходят через одну точку \((-2; 1)\).
Проходят ли прямые \(3x + 2y = -4\), \(x - 5y = -7\) и \(y - 4x = 9\) через одну точку?
Три прямые проходят через одну точку, если решение системы из двух уравнений является решением и третьего уравнения. Решим систему из уравнений первых двух прямых:
\[\begin{cases} 3x + 2y = -4, \\ x - 5y = -7. \end{cases}\]
Из второго уравнения \(x = 5y - 7\); подставим это выражение в первое уравнение:
\[\begin{cases} 3(5y - 7) + 2y = -4, \\ x = 5y - 7; \end{cases} \qquad \begin{cases} 15y - 21 + 2y = -4, \\ x = 5y - 7. \end{cases}\]
Из уравнения \(15y - 21 + 2y = -4\) получаем \(17y = 17\), откуда \(y = 1\). Тогда \(x = 5 \cdot 1 - 7 = -2\), то есть первые две прямые пересекаются в точке \((-2; 1)\).
Подставим координаты этой точки в уравнение третьей прямой: \(1 - 4 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\). Равенство верное, значит, прямая \(y - 4x = 9\) тоже проходит через точку \((-2; 1)\).
Проверка: \(3 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 = -6 + 2 = -4\) и \(-2 - 5 \cdot 1 = -7\) — точка \((-2; 1)\) лежит и на первых двух прямых.
Ответ: да, все три прямые проходят через одну точку \((-2; 1)\).
