Страница 234 номер 1277, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
На рисунке 216 изображены прямые, заданные уравнениями соответствующих систем. Какие из систем имеют решение?
1) \(\begin{cases} x - 2y = 1, \\ x - y = -2, \\ y = -3 \end{cases}\) 2) \(\begin{cases} x - 2y = 8, \\ 2x + y = 3, \\ 2x + 3y = 1 \end{cases}\) 3) \(\begin{cases} y - 5x = 4, \\ 3y - x = 4, \\ x + 2y = 0 \end{cases}\) 4) \(\begin{cases} x = -3, \\ 2y - x = 5, \\ 3y = 4x \end{cases}\)
1) \[\begin{cases} x - 2y = 1, \\ y = -3. \end{cases}\]
\(x - 2 \cdot (-3) = 1\), то есть \(x + 6 = 1\), откуда \(x = -5\).
Пара \((-5; -3)\) во втором уравнении: \(-5 - (-3) = -5 + 3 = -2\) — верно, все три прямые проходят через точку \((-5; -3)\), система имеет решение.
2) \[\begin{cases} 2x + y = 3, \\ 2x + 3y = 1. \end{cases}\]
Вычтем из второго уравнения первое: \(2y = -2\), \(y = -1\); из \(2x + y = 3\) получаем \(2x = 4\), \(x = 2\).
Пара \((2; -1)\) в первом уравнении: слева \(2 - 2 \cdot (-1) = 4\), справа 8 — неверно, решений нет.
3) \[\begin{cases} 3y - x = 4, \\ x + 2y = 0. \end{cases}\]
Сложим уравнения: \(5y = 4\), \(y = 4 : 5 = 0{,}8\); из \(x + 2y = 0\) получаем \(x = -2 \cdot 0{,}8 = -1{,}6\).
Пара \((-1{,}6; 0{,}8)\) в первом уравнении: слева \(0{,}8 - 5 \cdot (-1{,}6) = 8{,}8\), справа 4 — неверно, решений нет.
4) \[\begin{cases} x = -3, \\ 2y - x = 5. \end{cases}\]
\(2y + 3 = 5\), откуда \(2y = 2\) и \(y = 1\).
Пара \((-3; 1)\) в третьем уравнении: слева \(3 \cdot 1 = 3\), справа \(4 \cdot (-3) = -12\) — неверно, решений нет.
Ответ: решение имеет только система 1) — пара \(x = -5\), \(y = -3\); системы 2), 3) и 4) решений не имеют.
На рисунке 216 изображены прямые, заданные уравнениями соответствующих систем. Какие из систем имеют решение?
1) \(\begin{cases} x - 2y = 1, \\ x - y = -2, \\ y = -3 \end{cases}\) 2) \(\begin{cases} x - 2y = 8, \\ 2x + y = 3, \\ 2x + 3y = 1 \end{cases}\) 3) \(\begin{cases} y - 5x = 4, \\ 3y - x = 4, \\ x + 2y = 0 \end{cases}\) 4) \(\begin{cases} x = -3, \\ 2y - x = 5, \\ 3y = 4x \end{cases}\)
Система трёх уравнений имеет решение тогда и только тогда, когда все три прямые проходят через одну точку. Чтобы это проверить, у каждой системы решим систему из двух её уравнений, а найденную пару подставим в оставшееся уравнение.
1) Возьмём первое и третье уравнения:
\[\begin{cases} x - 2y = 1, \\ y = -3. \end{cases}\]
Подставим \(y = -3\) в первое уравнение: \(x - 2 \cdot (-3) = 1\), то есть \(x + 6 = 1\), откуда \(x = -5\). Подставим пару \((-5; -3)\) во второе уравнение системы: \(-5 - (-3) = -5 + 3 = -2\) — равенство верное. Значит, все три прямые проходят через точку \((-5; -3)\) и система имеет решение.
2) Возьмём второе и третье уравнения:
\[\begin{cases} 2x + y = 3, \\ 2x + 3y = 1. \end{cases}\]
Вычтем из второго уравнения первое: \((2x + 3y) - (2x + y) = 1 - 3\), то есть \(2y = -2\), откуда \(y = -1\). Тогда из уравнения \(2x + y = 3\) получаем \(2x = 4\) и \(x = 2\).
Подставим пару \((2; -1)\) в первое уравнение системы: левая часть равна \(2 - 2 \cdot (-1) = 2 + 2 = 4\), а правая равна 8. Равенство неверное, поэтому прямая \(x - 2y = 8\) через точку \((2; -1)\) не проходит и решений у системы нет.
3) Возьмём второе и третье уравнения:
\[\begin{cases} 3y - x = 4, \\ x + 2y = 0. \end{cases}\]
Сложим уравнения: \(5y = 4\), откуда \(y = 4 : 5 = 0{,}8\). Тогда из уравнения \(x + 2y = 0\) получаем \(x = -2 \cdot 0{,}8 = -1{,}6\).
Подставим пару \((-1{,}6; 0{,}8)\) в первое уравнение системы: левая часть равна \(0{,}8 - 5 \cdot (-1{,}6) = 0{,}8 + 8 = 8{,}8\), а правая равна 4. Равенство неверное, поэтому прямая \(y - 5x = 4\) через точку \((-1{,}6; 0{,}8)\) не проходит и решений у системы нет.
4) Возьмём первое и второе уравнения:
\[\begin{cases} x = -3, \\ 2y - x = 5. \end{cases}\]
Подставим \(x = -3\) во второе уравнение: \(2y + 3 = 5\), откуда \(2y = 2\) и \(y = 1\).
Подставим пару \((-3; 1)\) в третье уравнение системы: левая часть равна \(3 \cdot 1 = 3\), а правая равна \(4 \cdot (-3) = -12\). Равенство неверное, поэтому прямая \(3y = 4x\) через точку \((-3; 1)\) не проходит и решений у системы нет.
Ответ: решение имеет только система 1) — пара \(x = -5\), \(y = -3\); системы 2), 3) и 4) решений не имеют.
