Страница 232 номер 1271, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Определите, сколько решений имеет система уравнений:
а) \(\begin{cases} 2x - y = 5, \\ y - 2x = -5; \end{cases}\) б) \(\begin{cases} 3x - y = 6, \\ x + y = -2; \end{cases}\) в) \(\begin{cases} -4x + 3y = 13, \\ 8x - 6y = 5. \end{cases}\)
а) Оба уравнения дают \(y = 2x - 5\) — это одна и та же прямая, решений бесконечно много, все они — пары вида \((x;\ 2x - 5)\).
б) \(y = 3x - 6\) и \(y = -x - 2\): угловые коэффициенты различны (\(3 \ne -1\)), прямые пересекаются — решение единственное.
в) \(-4x + 3y = 13\) даёт \(3y = 4x + 13\), то есть \(y = \frac{4}{3}x + \frac{13}{3}\); \(8x - 6y = 5\) даёт \(6y = 8x - 5\), то есть \(y = \frac{4}{3}x - \frac{5}{6}\). Угловые коэффициенты равны, свободные члены различны, прямые параллельны — решений нет.
Ответ: а) бесконечно много решений; б) одно решение; в) решений нет.
Определите, сколько решений имеет система уравнений:
а) \(\begin{cases} 2x - y = 5, \\ y - 2x = -5; \end{cases}\) б) \(\begin{cases} 3x - y = 6, \\ x + y = -2; \end{cases}\) в) \(\begin{cases} -4x + 3y = 13, \\ 8x - 6y = 5. \end{cases}\)
Число решений системы видно из уравнений прямых \(y = kx + b\): если угловые коэффициенты различны, прямые пересекаются и решение одно; если угловые коэффициенты равны, а свободные члены различны, прямые параллельны и решений нет; если уравнения задают одну и ту же прямую, решений бесконечно много.
а) Выразим \(y\) через \(x\) в каждом уравнении: из \(2x - y = 5\) получаем \(y = 2x - 5\), из \(y - 2x = -5\) — тоже \(y = 2x - 5\). Оба уравнения задают одну и ту же прямую, поэтому решением системы является любая её точка: решений бесконечно много, и все они — пары вида \((x;\ 2x - 5)\).
б) Из \(3x - y = 6\) получаем \(y = 3x - 6\), из \(x + y = -2\) получаем \(y = -x - 2\). Угловые коэффициенты различны (\(3 \ne -1\)), поэтому прямые пересекаются в одной точке и система имеет единственное решение.
в) Из \(-4x + 3y = 13\) получаем \(3y = 4x + 13\), то есть \(y = \frac{4}{3}x + \frac{13}{3}\); из \(8x - 6y = 5\) получаем \(6y = 8x - 5\), то есть \(y = \frac{4}{3}x - \frac{5}{6}\). Угловые коэффициенты равны, а свободные члены различны, поэтому прямые параллельны и общих точек не имеют: решений у системы нет.
Ответ: а) бесконечно много решений; б) одно решение; в) решений нет.
