Страница 231 номер 1266, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите остаток от деления: а) \(61^{100}\) на 15; б) \(21^{400}\) на 17; в) \(23^{245}\) на 7; г) \(197^2\) на 6.
а) \(61 = 15 \cdot 4 + 1\) — остаток 1, поэтому у \(61^{100}\) остаток такой же, как у \(1^{100} = 1\).
б) \(21 = 17 + 4\) — остаток 4, поэтому у \(21^{400}\) остаток такой же, как у \(4^{400} = (4^4)^{100} = 256^{100}\).
\(256 = 17 \cdot 15 + 1\) — остаток 1, поэтому у \(256^{100}\) остаток такой же, как у \(1^{100} = 1\).
в) \(23 = 7 \cdot 3 + 2\) — остаток 2, поэтому у \(23^{245}\) остаток такой же, как у \(2^{245}\).
\[2^{245} = 2^{243} \cdot 2^2 = (2^3)^{81} \cdot 4 = 8^{81} \cdot 4.\]
Число 8 даёт при делении на 7 остаток 1, поэтому у \(8^{81} \cdot 4\) остаток такой же, как у \(1 \cdot 4 = 4\).
г) \(197 = 6 \cdot 32 + 5\) — остаток 5, поэтому у \(197^2\) остаток такой же, как у \(5 \cdot 5 = 25\), а \(25 = 6 \cdot 4 + 1\) — остаток 1.
Проверка: \(197^2 = 38\,809\) и \(38\,809 = 6 \cdot 6468 + 1\) — остаток 1.
Ответ: а) 1; б) 1; в) 4; г) 1.
Найдите остаток от деления: а) \(61^{100}\) на 15; б) \(21^{400}\) на 17; в) \(23^{245}\) на 7; г) \(197^2\) на 6.
Остаток произведения такой же, как остаток произведения остатков множителей, а степень — это произведение равных множителей.
а) Так как \(61 = 15 \cdot 4 + 1\), число 61 даёт при делении на 15 остаток 1. Степень \(61^{100}\) — произведение ста множителей, каждый из которых равен 61, поэтому её остаток такой же, как у произведения ста единиц, то есть как у числа \(1^{100} = 1\). Для остатка выполняется условие \(0 \leqslant 1 < 15\), значит, искомый остаток равен 1.
б) Так как \(21 = 17 + 4\), число 21 даёт при делении на 17 остаток 4, поэтому \(21^{400}\) даёт такой же остаток, как \(4^{400}\). Соберём множители по четыре: \(4^{400} = (4^4)^{100} = 256^{100}\). Число 256 даёт при делении на 17 остаток 1, ведь \(256 = 17 \cdot 15 + 1\), поэтому \(256^{100}\) даёт такой же остаток, как \(1^{100} = 1\). Значит, искомый остаток равен 1.
в) Так как \(23 = 7 \cdot 3 + 2\), число 23 даёт при делении на 7 остаток 2, поэтому \(23^{245}\) даёт такой же остаток, как \(2^{245}\). Выделим в этой степени множители по три:
\[2^{245} = 2^{243} \cdot 2^2 = (2^3)^{81} \cdot 4 = 8^{81} \cdot 4.\]
Число 8 даёт при делении на 7 остаток 1, поэтому \(8^{81}\) даёт такой же остаток, как \(1^{81} = 1\), а всё произведение \(8^{81} \cdot 4\) — такой же остаток, как число \(1 \cdot 4 = 4\). Для остатка выполняется условие \(0 \leqslant 4 < 7\), значит, искомый остаток равен 4.
г) Так как \(197 = 6 \cdot 32 + 5\), число 197 даёт при делении на 6 остаток 5. Квадрат — произведение двух равных множителей, поэтому \(197^2\) даёт такой же остаток, как число \(5 \cdot 5 = 25\), а \(25 = 6 \cdot 4 + 1\). Значит, искомый остаток равен 1.
Проверка: \(197^2 = 38\,809\), и \(38\,809 = 6 \cdot 6468 + 1\) — остаток равен 1.
Ответ: а) 1; б) 1; в) 4; г) 1.
