Страница 231 номер 1265, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \(x^2 - 4x + 4 = 9\); б) \(x^3 + 108x = 18x^2 + 216\).
а) \(x^2 - 4x + 4 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x - 2)^2\), поэтому уравнение имеет вид \((x - 2)^2 = 9\).
\[(x - 2)^2 - 9 = 0; \qquad (x - 2 - 3)(x - 2 + 3) = 0; \qquad (x - 5)(x + 1) = 0.\]
\(x - 5 = 0\) или \(x + 1 = 0\), откуда \(x = 5\) или \(x = -1\).
б) \(x^3 - 18x^2 + 108x - 216 = 0\) — перенесли слагаемые правой части в левую.
\[x^3 - 18x^2 + 108x - 216 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 6 + 3 \cdot x \cdot 6^2 - 6^3 = (x - 6)^3.\]
\((x - 6)^3 = 0\), откуда \(x - 6 = 0\) и \(x = 6\).
Ответ: а) \(x = -1\), \(x = 5\); б) \(x = 6\).
Решите уравнение: а) \(x^2 - 4x + 4 = 9\); б) \(x^3 + 108x = 18x^2 + 216\).
а) Левая часть уравнения — квадрат разности: \(x^2 - 4x + 4 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x - 2)^2\). Уравнение принимает вид \((x - 2)^2 = 9\).
Перенесём 9 в левую часть и разложим разность квадратов на множители:
\[(x - 2)^2 - 9 = 0; \qquad (x - 2 - 3)(x - 2 + 3) = 0; \qquad (x - 5)(x + 1) = 0.\]
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(x - 5 = 0\) или \(x + 1 = 0\), откуда \(x = 5\) или \(x = -1\).
б) Перенесём слагаемые правой части в левую и расположим их по убыванию степени: \(x^3 - 18x^2 + 108x - 216 = 0\). Левая часть — куб разности:
\[x^3 - 18x^2 + 108x - 216 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 6 + 3 \cdot x \cdot 6^2 - 6^3 = (x - 6)^3.\]
Уравнение принимает вид \((x - 6)^3 = 0\). Куб равен нулю только тогда, когда равно нулю само основание: \(x - 6 = 0\), откуда \(x = 6\).
Ответ: а) \(x = -1\), \(x = 5\); б) \(x = 6\).
