Страница 231 номер 1262, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \(x^2 + 6x + 9 = 1\); б) \(x^3 + 12x^2 + 48x + 64 = 0\).
а) \(x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x + 3)^2\), поэтому уравнение имеет вид \((x + 3)^2 = 1\).
\[(x + 3)^2 - 1 = 0; \qquad (x + 3 - 1)(x + 3 + 1) = 0; \qquad (x + 2)(x + 4) = 0.\]
\(x + 2 = 0\) или \(x + 4 = 0\), откуда \(x = -2\) или \(x = -4\).
б) \[x^3 + 12x^2 + 48x + 64 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 4 + 3 \cdot x \cdot 4^2 + 4^3 = (x + 4)^3.\]
\((x + 4)^3 = 0\), откуда \(x + 4 = 0\) и \(x = -4\).
Ответ: а) \(x = -4\), \(x = -2\); б) \(x = -4\).
Решите уравнение: а) \(x^2 + 6x + 9 = 1\); б) \(x^3 + 12x^2 + 48x + 64 = 0\).
а) Левая часть уравнения — квадрат суммы: \(x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x + 3)^2\). Уравнение принимает вид \((x + 3)^2 = 1\).
Перенесём 1 в левую часть и разложим разность квадратов на множители:
\[(x + 3)^2 - 1 = 0; \qquad (x + 3 - 1)(x + 3 + 1) = 0; \qquad (x + 2)(x + 4) = 0.\]
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(x + 2 = 0\) или \(x + 4 = 0\), откуда \(x = -2\) или \(x = -4\).
б) Левая часть уравнения — куб суммы:
\[x^3 + 12x^2 + 48x + 64 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 4 + 3 \cdot x \cdot 4^2 + 4^3 = (x + 4)^3.\]
Уравнение принимает вид \((x + 4)^3 = 0\). Куб равен нулю только тогда, когда равно нулю само основание: \(x + 4 = 0\), откуда \(x = -4\).
Ответ: а) \(x = -4\), \(x = -2\); б) \(x = -4\).
