Страница 231 номер 1261, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
В двух заповедниках обитали 560 оленей. Через год количество оленей в первом заповеднике увеличилось на 10 %, а во втором — на 15 %, и их общая численность составила 631 голову. Сколько оленей было в каждом заповеднике первоначально?
Дано:
в двух заповедниках было 560 оленей
за год в первом стало больше на 10 %
за год во втором стало больше на 15 %
всего стало 631 олень
Найти: сколько оленей было в каждом заповеднике первоначально.
Решение:
Пусть \(x\) — число оленей в первом заповеднике, \(y\) — число оленей во втором.
\(x + 0{,}1x = 1{,}1x\) — стало в первом заповеднике.
\(y + 0{,}15y = 1{,}15y\) — стало во втором заповеднике.
\[\begin{cases} x + y = 560, \\ 1{,}1x + 1{,}15y = 631; & | \cdot 20 \end{cases} \qquad \begin{cases} x + y = 560, & | \cdot (-22) \\ 22x + 23y = 12\,620; \end{cases} \qquad \begin{cases} -22x - 22y = -12\,320, \\ 22x + 23y = 12\,620. \end{cases}\]
\[(-22x - 22y) + (22x + 23y) = -12\,320 + 12\,620; \qquad y = 300.\]
\(x + 300 = 560\), откуда \(x = 260\).
Проверка: \(1{,}1 \cdot 260 + 1{,}15 \cdot 300 = 286 + 345 = 631\) (голова) — стало в двух заповедниках, а было \(260 + 300 = 560\).
Ответ: в первом заповеднике было 260 оленей, во втором — 300 оленей.
В двух заповедниках обитали 560 оленей. Через год количество оленей в первом заповеднике увеличилось на 10 %, а во втором — на 15 %, и их общая численность составила 631 голову. Сколько оленей было в каждом заповеднике первоначально?
Дано:
в двух заповедниках было 560 оленей
за год в первом стало больше на 10 %
за год во втором стало больше на 15 %
всего стало 631 олень
Найти: сколько оленей было в каждом заповеднике первоначально.
Решение:
Пусть в первом заповеднике обитали \(x\) оленей, а во втором — \(y\) оленей. Всего их было 560, поэтому \(x + y = 560\).
За год число оленей в первом заповеднике увеличилось на 10 % и стало равно \(x + 0{,}1x = 1{,}1x\), а во втором увеличилось на 15 % и стало равно \(y + 0{,}15y = 1{,}15y\). Вместе через год их стало 631, поэтому \(1{,}1x + 1{,}15y = 631\).
Составим систему уравнений:
\[\begin{cases} x + y = 560, \\ 1{,}1x + 1{,}15y = 631. \end{cases}\]
Умножим обе части второго уравнения на 20, чтобы его коэффициенты стали целыми:
\[\begin{cases} x + y = 560, \\ 1{,}1x + 1{,}15y = 631; & | \cdot 20 \end{cases} \qquad \begin{cases} x + y = 560, \\ 22x + 23y = 12\,620. \end{cases}\]
Решим полученную систему способом сложения. Умножим обе части первого уравнения на \(-22\) — тогда коэффициенты при \(x\) станут противоположными:
\[\begin{cases} x + y = 560, & | \cdot (-22) \\ 22x + 23y = 12\,620; \end{cases} \qquad \begin{cases} -22x - 22y = -12\,320, \\ 22x + 23y = 12\,620. \end{cases}\]
Сложим уравнения системы:
\[(-22x - 22y) + (22x + 23y) = -12\,320 + 12\,620; \qquad y = 300.\]
Подставим \(y = 300\) в уравнение \(x + y = 560\): получаем \(x + 300 = 560\), откуда \(x = 260\).
Проверка: \(1{,}1 \cdot 260 = 286\) (оленей) — стало в первом заповеднике, \(1{,}15 \cdot 300 = 345\) (оленей) — стало во втором, вместе \(286 + 345 = 631\) (голова), а первоначально их было \(260 + 300 = 560\).
Ответ: в первом заповеднике было 260 оленей, во втором — 300 оленей.
