Страница 230 номер 1256, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Имеются два сплава: в первом содержится 30 % олова, а во втором — 40 % олова. Из этих двух сплавов нужно получить 10 кг нового сплава, содержащего 36 % олова. Сколько килограммов первого и сколько килограммов второго сплава понадобится для этого?
Дано:
первый сплав — 30 % олова
второй сплав — 40 % олова
масса нового сплава — 10 кг
олова в новом сплаве — 36 %
Найти: массу первого и массу второго сплава.
Решение:
Пусть \(x\) кг — масса первого сплава, \(y\) кг — масса второго сплава.
\(0{,}3x\) (кг) — олово в первом сплаве.
\(0{,}4y\) (кг) — олово во втором сплаве.
\(\frac{36}{100} \cdot 10 = 3{,}6\) (кг) — олово в новом сплаве.
\[\begin{cases} x + y = 10, \\ 0{,}3x + 0{,}4y = 3{,}6; & | \cdot 10 \end{cases} \qquad \begin{cases} x + y = 10, \\ 3x + 4y = 36. \end{cases}\]
\[\begin{cases} x = 10 - y, \\ 3(10 - y) + 4y = 36; \end{cases} \qquad \begin{cases} x = 10 - y, \\ 30 + y = 36. \end{cases}\]
\(y = 6\), тогда \(x = 10 - 6 = 4\).
Проверка: \(0{,}3 \cdot 4 + 0{,}4 \cdot 6 = 1{,}2 + 2{,}4 = 3{,}6\) (кг) — олово нового сплава, это 36 % от 10 кг, а массы дают \(4 + 6 = 10\) (кг).
Ответ: 4 кг первого сплава и 6 кг второго сплава.
Имеются два сплава: в первом содержится 30 % олова, а во втором — 40 % олова. Из этих двух сплавов нужно получить 10 кг нового сплава, содержащего 36 % олова. Сколько килограммов первого и сколько килограммов второго сплава понадобится для этого?
Дано:
первый сплав — 30 % олова
второй сплав — 40 % олова
масса нового сплава — 10 кг
олова в новом сплаве — 36 %
Найти: массу первого и массу второго сплава.
Решение:
Пусть для нового сплава нужно взять \(x\) кг первого сплава и \(y\) кг второго сплава. Вместе они дают 10 кг, поэтому \(x + y = 10\).
Олово в первом сплаве составляет 30 % его массы, то есть \(\frac{30}{100} \cdot x = 0{,}3x\) (кг), а во втором — 40 % массы, то есть \(\frac{40}{100} \cdot y = 0{,}4y\) (кг). В новом сплаве олова 36 % от 10 кг, то есть \(\frac{36}{100} \cdot 10 = 3{,}6\) (кг). Всё олово нового сплава пришло из двух исходных, поэтому \(0{,}3x + 0{,}4y = 3{,}6\).
Составим систему уравнений:
\[\begin{cases} x + y = 10, \\ 0{,}3x + 0{,}4y = 3{,}6. \end{cases}\]
Умножим обе части второго уравнения на 10, чтобы его коэффициенты стали целыми:
\[\begin{cases} x + y = 10, \\ 0{,}3x + 0{,}4y = 3{,}6; & | \cdot 10 \end{cases} \qquad \begin{cases} x + y = 10, \\ 3x + 4y = 36. \end{cases}\]
Выразим \(x\) через \(y\) из первого уравнения и подставим это выражение во второе:
\[\begin{cases} x = 10 - y, \\ 3(10 - y) + 4y = 36; \end{cases} \qquad \begin{cases} x = 10 - y, \\ 30 + y = 36. \end{cases}\]
Значит, \(y = 6\), и тогда \(x = 10 - 6 = 4\).
Проверка: \(0{,}3 \cdot 4 = 1{,}2\) (кг) — олово в первом сплаве, \(0{,}4 \cdot 6 = 2{,}4\) (кг) — олово во втором, вместе \(1{,}2 + 2{,}4 = 3{,}6\) (кг). Это ровно 36 % от 10 кг, а сами массы дают \(4 + 6 = 10\) (кг).
Ответ: 4 кг первого сплава и 6 кг второго сплава.
