Страница 230 номер 1253, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Дано:
\(s = 108\) км — расстояние от А до Б
велосипедисты выехали одновременно навстречу друг другу
\(t = 3\) ч — время до встречи
за 4 ч Артём проезжает на 9 км больше, чем Витя за 5 ч

Найти: скорость Артёма и скорость Вити.

Решение:

Пусть скорость Артёма равна \(x\) км/ч, а скорость Вити равна \(y\) км/ч.

Велосипедисты выехали одновременно навстречу друг другу и встретились через 3 часа. За это время Артём проехал \(3x\) км, а Витя проехал \(3y\) км; вместе они проехали все 108 км, поэтому \(3x + 3y = 108\).

За 4 часа Артём проезжает \(4x\) км, а Витя за 5 часов проезжает \(5y\) км, причём Артём проезжает на 9 км больше, поэтому \(4x - 5y = 9\).

Составим систему уравнений:

\[\begin{cases} 3x + 3y = 108, \\ 4x - 5y = 9. \end{cases}\]

Все числа первого уравнения делятся на 3, поэтому разделим обе его части на 3:

\[\begin{cases} 3x + 3y = 108, & | : 3 \\ 4x - 5y = 9; \end{cases} \qquad \begin{cases} x + y = 36, \\ 4x - 5y = 9. \end{cases}\]

Выразим \(x\) через \(y\) из первого уравнения и подставим во второе:

\[\begin{cases} x = 36 - y, \\ 4(36 - y) - 5y = 9; \end{cases} \qquad \begin{cases} x = 36 - y, \\ 144 - 9y = 9. \end{cases}\]

Из второго уравнения \(9y = 135\), то есть \(y = 15\). Подставим это значение в первое уравнение:

\[\begin{cases} x = 36 - 15, \\ y = 15; \end{cases} \qquad \begin{cases} x = 21, \\ y = 15. \end{cases}\]

Проверка: \(3 \cdot 21 + 3 \cdot 15 = 63 + 45 = 108\) (км) — расстояние, которое велосипедисты проехали вместе до встречи; \(4 \cdot 21 - 5 \cdot 15 = 84 - 75 = 9\) (км) — на столько больше проезжает Артём за 4 часа, чем Витя за 5 часов.

Ответ: скорость Артёма — 21 км/ч, скорость Вити — 15 км/ч.