Страница 223 номер 1236, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
В некотором двузначном числе с цифрой 4, стоящей в разряде единиц, цифры поменяли местами. Оказалось, что разность исходного числа и полученного положительна и делится на 5. Найдите исходное число.
Пусть \(a\) — цифра десятков, тогда число равно \(\overline{a4} = 10a + 4\), а после перестановки цифр — \(\overline{4a} = 40 + a\).
\[(10a + 4) - (40 + a) = 10a + 4 - 40 - a = 9a - 36 = 9(a - 4).\]
Разность положительна, значит, \(a - 4 > 0\) и \(a\) больше 4.
Разность делится на 5, а числа 9 и 5 взаимно простые, значит, на 5 делится \(a - 4\); цифра \(a\) не больше 9, поэтому \(a - 4\) принимает значения от 1 до 5, а из них на 5 делится только 5: \(a - 4 = 5\), \(a = 9\), число равно 94.
Проверка: \(94 - 49 = 45\) — разность положительна, и \(45 : 5 = 9\).
Ответ: 94.
В некотором двузначном числе с цифрой 4, стоящей в разряде единиц, цифры поменяли местами. Оказалось, что разность исходного числа и полученного положительна и делится на 5. Найдите исходное число.
Цифра единиц исходного числа равна 4. Обозначим его цифру десятков через \(a\), тогда исходное число равно \(\overline{a4} = 10a + 4\), где \(a \neq 0\). После перестановки цифр получится число \(\overline{4a} = 40 + a\).
Найдём разность исходного числа и полученного:
\[(10a + 4) - (40 + a) = 10a + 4 - 40 - a = 9a - 36 = 9(a - 4).\]
По условию эта разность положительна, значит, \(a - 4 > 0\), то есть цифра \(a\) больше 4.
Кроме того, разность делится на 5. Числа 9 и 5 взаимно простые, поэтому на 5 делится множитель \(a - 4\). Цифра \(a\) не больше 9, поэтому разность \(a - 4\) принимает значения от 1 до 5, и из этих значений на 5 делится только само число 5. Значит, \(a - 4 = 5\) и \(a = 9\), а исходное число равно 94.
Проверка: если в числе 94 поменять цифры местами, получится число 49, и \(94 - 49 = 45\). Разность положительна и делится на 5, так как \(45 : 5 = 9\).
Ответ: 94.
