Страница 223 номер 1235, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Вычислите, используя формулу сокращённого умножения: а) \(51^2\); б) \(405^2\); в) \(904 \cdot 896\); г) \(\dfrac{7{,}3^2 - 2{,}3^2}{10{,}6^2 - 9{,}4^2}\).
а)
\[\begin{aligned} &51^2 = (50 + 1)^2 = 50^2 + 2 \cdot 50 \cdot 1 + 1^2 = {} \\ &= 2500 + 100 + 1 = 2601. \end{aligned}\]
б)
\[\begin{aligned} &405^2 = (400 + 5)^2 = 400^2 + 2 \cdot 400 \cdot 5 + 5^2 = {} \\ &= 160\,000 + 4000 + 25 = 164\,025. \end{aligned}\]
в)
\[\begin{aligned} &904 \cdot 896 = (900 + 4)(900 - 4) = {} \\ &= 900^2 - 4^2 = 810\,000 - 16 = 809\,984. \end{aligned}\]
г)
\[\begin{aligned} &\frac{7{,}3^2 - 2{,}3^2}{10{,}6^2 - 9{,}4^2} = \frac{(7{,}3 - 2{,}3)(7{,}3 + 2{,}3)}{(10{,}6 - 9{,}4)(10{,}6 + 9{,}4)} = {} \\ &= \frac{5 \cdot 9{,}6}{1{,}2 \cdot 20} = \frac{48}{24} = 2. \end{aligned}\]
Ответ: а) 2601; б) \(164\,025\); в) \(809\,984\); г) 2.
Вычислите, используя формулу сокращённого умножения: а) \(51^2\); б) \(405^2\); в) \(904 \cdot 896\); г) \(\dfrac{7{,}3^2 - 2{,}3^2}{10{,}6^2 - 9{,}4^2}\).
а) Число 51 больше 50 на 1, поэтому применим формулу квадрата суммы \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\):
\[\begin{aligned} &51^2 = (50 + 1)^2 = 50^2 + 2 \cdot 50 \cdot 1 + 1^2 = {} \\ &= 2500 + 100 + 1 = 2601. \end{aligned}\]
б) Число 405 больше 400 на 5, поэтому применим ту же формулу квадрата суммы:
\[\begin{aligned} &405^2 = (400 + 5)^2 = 400^2 + 2 \cdot 400 \cdot 5 + 5^2 = {} \\ &= 160\,000 + 4000 + 25 = 164\,025. \end{aligned}\]
в) Числа 904 и 896 отличаются от 900 на 4, поэтому произведение можно записать как произведение суммы двух чисел на их разность и применить формулу разности квадратов \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\):
\[\begin{aligned} &904 \cdot 896 = (900 + 4)(900 - 4) = {} \\ &= 900^2 - 4^2 = 810\,000 - 16 = 809\,984. \end{aligned}\]
г) И в числителе, и в знаменателе стоит разность квадратов:
\[\begin{aligned} &\frac{7{,}3^2 - 2{,}3^2}{10{,}6^2 - 9{,}4^2} = \frac{(7{,}3 - 2{,}3)(7{,}3 + 2{,}3)}{(10{,}6 - 9{,}4)(10{,}6 + 9{,}4)} = {} \\ &= \frac{5 \cdot 9{,}6}{1{,}2 \cdot 20} = \frac{48}{24} = 2. \end{aligned}\]
Ответ: а) 2601; б) \(164\,025\); в) \(809\,984\); г) 2.
