Страница 223 номер 1234, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Разложите многочлен на множители:
а) \(e^2 - ek - 2e + 2k\); б) \(xy + 6 - 3x - 2y\); в) \(a^3 + 3a^2 + ab + 3b + 4a + 12\); г) \(x^3 + x^2y - x^2 - xy - y - x\).
а)
\[e^2 - ek - 2e + 2k = (e^2 - ek) - (2e - 2k) = e(e - k) - 2(e - k) = (e - k)(e - 2).\]
б)
\[xy + 6 - 3x - 2y = (xy - 3x) - (2y - 6) = x(y - 3) - 2(y - 3) = (y - 3)(x - 2).\]
в)
\[\begin{aligned} &a^3 + 3a^2 + ab + 3b + 4a + 12 = (a^3 + 3a^2) + (ab + 3b) + (4a + 12) = {} \\ &= a^2(a + 3) + b(a + 3) + 4(a + 3) = (a + 3)(a^2 + b + 4). \end{aligned}\]
г)
\[\begin{aligned} &x^3 + x^2y - x^2 - xy - y - x = (x^3 + x^2y) - (x^2 + xy) - (x + y) = {} \\ &= x^2(x + y) - x(x + y) - (x + y) = (x + y)(x^2 - x - 1). \end{aligned}\]
Третье слагаемое выносится за скобки полностью и при этом вычитается, поэтому на его месте в скобках стоит \(-1\).
Ответ: а) \((e - k)(e - 2)\); б) \((y - 3)(x - 2)\); в) \((a + 3)(a^2 + b + 4)\); г) \((x + y)(x^2 - x - 1)\).
Разложите многочлен на множители:
а) \(e^2 - ek - 2e + 2k\); б) \(xy + 6 - 3x - 2y\); в) \(a^3 + 3a^2 + ab + 3b + 4a + 12\); г) \(x^3 + x^2y - x^2 - xy - y - x\).
а) Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвёртым; в первой группе общий множитель — \(e\), во второй — число 2. Вычесть сумму \(2e - 2k\) — значит вычесть каждое её слагаемое:
\[e^2 - ek - 2e + 2k = (e^2 - ek) - (2e - 2k) = e(e - k) - 2(e - k) = (e - k)(e - 2).\]
б) Сгруппируем слагаемое \(xy\) со слагаемым \(-3x\), а \(-2y\) с 6:
\[xy + 6 - 3x - 2y = (xy - 3x) - (2y - 6) = x(y - 3) - 2(y - 3) = (y - 3)(x - 2).\]
в) Разобьём шесть слагаемых на три группы по два:
\[a^3 + 3a^2 + ab + 3b + 4a + 12 = (a^3 + 3a^2) + (ab + 3b) + (4a + 12).\]
В первой группе общий множитель — \(a^2\), во второй — \(b\), в третьей — число 4, и во всех трёх группах остаётся общий двучлен \(a + 3\):
\[a^2(a + 3) + b(a + 3) + 4(a + 3) = (a + 3)(a^2 + b + 4).\]
г) Разобьём шесть слагаемых на три группы по два:
\[x^3 + x^2y - x^2 - xy - y - x = (x^3 + x^2y) - (x^2 + xy) - (x + y).\]
В первой группе общий множитель — \(x^2\), во второй — \(x\), и во всех трёх слагаемых получается общий двучлен \(x + y\); третье слагаемое выносится за скобки полностью и при этом вычитается, поэтому на его месте в скобках пишется \(-1\):
\[x^2(x + y) - x(x + y) - (x + y) = (x + y)(x^2 - x - 1).\]
Ответ: а) \((e - k)(e - 2)\); б) \((y - 3)(x - 2)\); в) \((a + 3)(a^2 + b + 4)\); г) \((x + y)(x^2 - x - 1)\).
