Страница 222 номер 1230, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Разложите многочлен на множители:
а) \(4a - 4c + ak - ck\); б) \(x^3 - 6 + 3x - 2x^2\); в) \(-ay + ax - by + bx - 2x + 2y\); г) \(m^2n - 4m^2 + mn + n - 4m - 4\).
а)
\[4a - 4c + ak - ck = (4a - 4c) + (ak - ck) = 4(a - c) + k(a - c) = (a - c)(4 + k).\]
б)
\[\begin{aligned} &x^3 - 6 + 3x - 2x^2 = (x^3 - 2x^2) + (3x - 6) = {} \\ &= x^2(x - 2) + 3(x - 2) = (x - 2)(x^2 + 3). \end{aligned}\]
в)
\[\begin{aligned} &-ay + ax - by + bx - 2x + 2y = (ax - ay) + (bx - by) - (2x - 2y) = {} \\ &= a(x - y) + b(x - y) - 2(x - y) = (x - y)(a + b - 2). \end{aligned}\]
г)
\[\begin{aligned} &m^2n - 4m^2 + mn + n - 4m - 4 = (m^2n - 4m^2) + (mn - 4m) + (n - 4) = {} \\ &= m^2(n - 4) + m(n - 4) + (n - 4) = (n - 4)(m^2 + m + 1). \end{aligned}\]
Третье слагаемое выносится за скобки полностью, поэтому на его месте в скобках стоит единица.
Ответ: а) \((a - c)(4 + k)\); б) \((x - 2)(x^2 + 3)\); в) \((x - y)(a + b - 2)\); г) \((n - 4)(m^2 + m + 1)\).
Разложите многочлен на множители:
а) \(4a - 4c + ak - ck\); б) \(x^3 - 6 + 3x - 2x^2\); в) \(-ay + ax - by + bx - 2x + 2y\); г) \(m^2n - 4m^2 + mn + n - 4m - 4\).
а) Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвёртым; в первой группе общий множитель — число 4, во второй — \(k\), а затем вынесем за скобки общий двучлен \(a - c\):
\[4a - 4c + ak - ck = (4a - 4c) + (ak - ck) = 4(a - c) + k(a - c) = (a - c)(4 + k).\]
б) Запишем многочлен по убыванию степеней и сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвёртым:
\[\begin{aligned} &x^3 - 6 + 3x - 2x^2 = (x^3 - 2x^2) + (3x - 6) = {} \\ &= x^2(x - 2) + 3(x - 2) = (x - 2)(x^2 + 3). \end{aligned}\]
в) Шесть слагаемых разобьём на три группы по два: в первую возьмём слагаемые с множителем \(a\), во вторую — с множителем \(b\), в третью — оставшиеся. Вычесть сумму \(2x - 2y\) — значит вычесть каждое её слагаемое:
\[-ay + ax - by + bx - 2x + 2y = (ax - ay) + (bx - by) - (2x - 2y).\]
Вынесем общий множитель в каждой группе, а затем общий двучлен \(x - y\):
\[a(x - y) + b(x - y) - 2(x - y) = (x - y)(a + b - 2).\]
г) Разобьём шесть слагаемых на три группы по два:
\[m^2n - 4m^2 + mn + n - 4m - 4 = (m^2n - 4m^2) + (mn - 4m) + (n - 4).\]
В первой группе общий множитель — \(m^2\), во второй — \(m\), и во всех трёх слагаемых получается общий двучлен \(n - 4\); третье слагаемое выносится за скобки полностью, поэтому на его месте в скобках пишется единица:
\[m^2(n - 4) + m(n - 4) + (n - 4) = (n - 4)(m^2 + m + 1).\]
Ответ: а) \((a - c)(4 + k)\); б) \((x - 2)(x^2 + 3)\); в) \((x - y)(a + b - 2)\); г) \((n - 4)(m^2 + m + 1)\).
