Страница 221 номер 1217, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите способом подстановки систему уравнений: а) \(\begin{cases} 8x - y = -11, \\ 2x + 7y = 19; \end{cases}\) б) \(\begin{cases} 5x + 2y = 24, \\ 5x - 7y = 6. \end{cases}\)
а)
\[8x - y = -11; \qquad y = 8x + 11.\]
\[\begin{cases} y = 8x + 11, \\ 2x + 7(8x + 11) = 19; \end{cases} \qquad 2x + 56x + 77 = 19; \qquad 58x = -58; \qquad x = -1.\]
\(y = 8 \cdot (-1) + 11 = 3\).
Проверка: \(8 \cdot (-1) - 3 = -11\) и \(2 \cdot (-1) + 7 \cdot 3 = 19\) — оба равенства верные.
б) Коэффициент 5 при \(x\) одинаков в обоих уравнениях — при подстановке дробь сократится.
\[5x = 24 - 2y; \qquad x = \frac{24 - 2y}{5}.\]
\[\begin{aligned} &5 \cdot \frac{24 - 2y}{5} - 7y = 6; \\ &24 - 2y - 7y = 6; \\ &24 - 9y = 6; \\ &9y = 18; \\ &y = 2. \end{aligned}\]
\(x = \frac{24 - 2 \cdot 2}{5} = \frac{20}{5} = 4\).
Проверка: \(5 \cdot 4 + 2 \cdot 2 = 24\) и \(5 \cdot 4 - 7 \cdot 2 = 6\) — оба равенства верные.
Ответ: а) \(x = -1\), \(y = 3\); б) \(x = 4\), \(y = 2\).
Решите способом подстановки систему уравнений: а) \(\begin{cases} 8x - y = -11, \\ 2x + 7y = 19; \end{cases}\) б) \(\begin{cases} 5x + 2y = 24, \\ 5x - 7y = 6. \end{cases}\)
а) В первом уравнении при \(y\) стоит коэффициент \(-1\), поэтому из него легко выразить \(y\): перенесём \(y\) в правую часть, а \(-11\) — в левую:
\[8x - y = -11; \qquad y = 8x + 11.\]
Подставим выражение \(8x + 11\) вместо \(y\) во второе уравнение:
\[\begin{cases} y = 8x + 11, \\ 2x + 7y = 19; \end{cases} \qquad \begin{cases} y = 8x + 11, \\ 2x + 7(8x + 11) = 19. \end{cases}\]
Решим второе уравнение системы:
\[\begin{cases} y = 8x + 11, \\ 2x + 56x + 77 = 19; \end{cases} \qquad \begin{cases} y = 8x + 11, \\ 58x = -58. \end{cases}\]
\[\begin{cases} y = 8x + 11, \\ x = -1. \end{cases}\]
Подставим \(x = -1\) в первое уравнение: \(y = 8 \cdot (-1) + 11 = 3\).
Проверка: \(8 \cdot (-1) - 3 = -11\) и \(2 \cdot (-1) + 7 \cdot 3 = 19\) — оба равенства верные.
б) Коэффициента 1 нет ни при одной переменной. Выразим \(x\) через \(y\) из первого уравнения: во втором уравнении при \(x\) стоит тот же коэффициент 5, поэтому при подстановке дробь сократится.
\[5x = 24 - 2y; \qquad x = \frac{24 - 2y}{5}.\]
Подставим это выражение вместо \(x\) во второе уравнение и решим его:
\[\begin{aligned} &5 \cdot \frac{24 - 2y}{5} - 7y = 6; \\ &24 - 2y - 7y = 6; \\ &24 - 9y = 6; \\ &9y = 18; \\ &y = 2. \end{aligned}\]
Подставим \(y = 2\) в выражение для \(x\): \(x = \frac{24 - 2 \cdot 2}{5} = \frac{20}{5} = 4\).
Проверка: \(5 \cdot 4 + 2 \cdot 2 = 24\) и \(5 \cdot 4 - 7 \cdot 2 = 6\) — оба равенства верные.
Ответ: а) \(x = -1\), \(y = 3\); б) \(x = 4\), \(y = 2\).
