Страница 221 номер 1210, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Сколько решений имеет система уравнений \(\begin{cases} -2x + y = 5, \\ 8x - 4y = -20? \end{cases}\)
\[\begin{cases} -2x + y = 5, & | \cdot 4 \\ 8x - 4y = -20; \end{cases} \qquad \begin{cases} -8x + 4y = 20, \\ 8x - 4y = -20. \end{cases}\]
\[(-8x + 4y) + (8x - 4y) = 20 + (-20); \qquad 0 = 0.\]
Равенство \(0 = 0\) верно при любых значениях переменных: второе уравнение получается из первого умножением на \(-4\) и нового условия не содержит. Значит, решение — любая пара, удовлетворяющая первому уравнению, то есть \(y = 2x + 5\).
При \(x = 0\) получается пара \((0; 5)\): \(-2 \cdot 0 + 5 = 5\) и \(8 \cdot 0 - 4 \cdot 5 = -20\) — оба равенства верны.
Ответ: бесконечно много решений — все пары вида \((x;\ 2x + 5)\).
Сколько решений имеет система уравнений \(\begin{cases} -2x + y = 5, \\ 8x - 4y = -20? \end{cases}\)
Умножим первое уравнение на 4, чтобы коэффициенты при \(x\) отличались только знаком:
\[\begin{cases} -2x + y = 5, & | \cdot 4 \\ 8x - 4y = -20; \end{cases} \qquad \begin{cases} -8x + 4y = 20, \\ 8x - 4y = -20. \end{cases}\]
Сложим уравнения полученной системы:
\[(-8x + 4y) + (8x - 4y) = 20 + (-20); \qquad 0 = 0.\]
Равенство \(0 = 0\) верно при любых значениях переменных, поэтому найти значения \(x\) и \(y\) сложением не удаётся. Причина видна из самих уравнений: второе уравнение системы получается из первого умножением на \(-4\), то есть нового условия оно не содержит. Значит, решением системы служит любая пара, удовлетворяющая первому уравнению. Выразим из него \(y\): \(y = 2x + 5\).
Например, при \(x = 0\) получается пара \((0; 5)\), и оба равенства верны: \(-2 \cdot 0 + 5 = 5\) и \(8 \cdot 0 - 4 \cdot 5 = -20\).
Решениями системы являются все пары вида \((x;\ 2x + 5)\), и таких пар бесконечно много.
Ответ: бесконечно много решений — все пары вида \((x;\ 2x + 5)\).
