Страница 216 номер 1198, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите графическим способом систему уравнений \(\begin{cases} 3x - y = 8, \\ x + 2y = 5. \end{cases}\)
Выразите \(y\) из обоих уравнений и отметьте все целочисленные точки, принадлежащие графикам получившихся зависимостей и попавшие на изображённую часть плоскости. Укажите координаты точки пересечения прямых.
\(2y = 5 - x\), откуда \(y = \frac{5 - x}{2} = -0{,}5x + 2{,}5\).
\[\begin{cases} y = 3x - 8, \\ y = -0{,}5x + 2{,}5. \end{cases}\]
Изображён квадрат \(-5 \leqslant x \leqslant 5\), \(-5 \leqslant y \leqslant 5\).
У \(y = 3x - 8\) при целом \(x\) значение \(y\) тоже целое; в квадрат попадают \((1; -5)\), \((2; -2)\), \((3; 1)\), \((4; 4)\).
У \(y = \frac{5 - x}{2}\) значение целое при нечётных \(x\) (разность \(5 - x\) чётна); в квадрат попадают \((-5; 5)\), \((-3; 4)\), \((-1; 3)\), \((1; 2)\), \((3; 1)\), \((5; 0)\).
В обоих списках только точка \((3; 1)\) — в ней прямые и пересекаются.
Проверка: \(3 \cdot 3 - 1 = 9 - 1 = 8\) и \(3 + 2 \cdot 1 = 3 + 2 = 5\) — оба равенства верные.
Ответ: решение системы — пара \((3; 1)\), это и есть точка пересечения прямых; целочисленные точки прямой \(y = 3x - 8\) — \((1; -5)\), \((2; -2)\), \((3; 1)\), \((4; 4)\), а прямой \(y = -0{,}5x + 2{,}5\) — \((-5; 5)\), \((-3; 4)\), \((-1; 3)\), \((1; 2)\), \((3; 1)\), \((5; 0)\).
Решите графическим способом систему уравнений \(\begin{cases} 3x - y = 8, \\ x + 2y = 5. \end{cases}\)
Выразите \(y\) из обоих уравнений и отметьте все целочисленные точки, принадлежащие графикам получившихся зависимостей и попавшие на изображённую часть плоскости. Укажите координаты точки пересечения прямых.
Выразим в каждом уравнении системы \(y\) через \(x\). Из первого уравнения: \(y = 3x - 8\). Из второго уравнения: \(2y = 5 - x\), откуда \(y = \frac{5 - x}{2} = -0{,}5x + 2{,}5\).
\[\begin{cases} y = 3x - 8, \\ y = -0{,}5x + 2{,}5. \end{cases}\]
Изображённая часть плоскости — квадрат, в котором \(-5 \leqslant x \leqslant 5\) и \(-5 \leqslant y \leqslant 5\).
В первой зависимости коэффициенты целые, поэтому при целом \(x\) значение \(y\) тоже целое. В изображённую часть плоскости попадают точки \((1; -5)\), \((2; -2)\), \((3; 1)\) и \((4; 4)\).
Во второй зависимости \(y = \frac{5 - x}{2}\), и значение \(y\) целое только тогда, когда разность \(5 - x\) чётна, то есть при нечётных \(x\). В изображённую часть плоскости попадают точки \((-5; 5)\), \((-3; 4)\), \((-1; 3)\), \((1; 2)\), \((3; 1)\) и \((5; 0)\).
Отметим эти точки и проведём через них прямые.
Единственная точка, попавшая в оба списка, — точка \((3; 1)\), в ней прямые и пересекаются.
Проверка: \(3 \cdot 3 - 1 = 9 - 1 = 8\) и \(3 + 2 \cdot 1 = 3 + 2 = 5\) — оба уравнения системы обратились в верные равенства.
Ответ: решение системы — пара \((3; 1)\), это и есть точка пересечения прямых; целочисленные точки прямой \(y = 3x - 8\) — \((1; -5)\), \((2; -2)\), \((3; 1)\), \((4; 4)\), а прямой \(y = -0{,}5x + 2{,}5\) — \((-5; 5)\), \((-3; 4)\), \((-1; 3)\), \((1; 2)\), \((3; 1)\), \((5; 0)\).
