Страница 212 номер 1192, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Дана кусочно-линейная функция
\[y = \begin{cases} -2x - 3 & \text{при } x < -1, \\ 3x + 2 & \text{при } -1 \leqslant x < 2, \\ 4x & \text{при } x \geqslant 2. \end{cases}\]
Постройте в тетради график этой функции и определите, сколько точек пересечения с горизонтальной прямой вида \(y = c\) может иметь график этой функции при различных \(c\).
Прямая \(y = -2x - 3\) проходит через \((-3; 3)\) и \((-1; -1)\), так как \(-2 \cdot (-3) - 3 = 3\) и \(-2 \cdot (-1) - 3 = -1\); оставляем часть при \(x < -1\).
Прямая \(y = 3x + 2\) проходит через \((-1; -1)\) и \((2; 8)\), так как \(3 \cdot (-1) + 2 = -1\) и \(3 \cdot 2 + 2 = 8\); оставляем часть при \(-1 \leqslant x < 2\).
Прямая \(y = 4x\) проходит через \((2; 8)\) и \((3; 12)\); оставляем часть при \(x \geqslant 2\).
На стыках значения соседних формул совпадают: при \(x = -1\) обе дают \(-1\), при \(x = 2\) обе дают 8 — выколотых точек нет, график — сплошная ломаная с вершинами \((-1; -1)\) и \((2; 8)\).
При \(x < -1\) угловой коэффициент \(-2\), функция убывает, её значения больше, чем \(-2 \cdot (-1) - 3 = -1\), и каждое такое значение левая часть графика принимает ровно один раз.
При \(x \geqslant -1\) функция возрастает (коэффициенты 3, затем 4), наименьшее значение \(-1\) она принимает при \(x = -1\), и каждое значение, не меньшее \(-1\), правая часть графика принимает ровно один раз.
Значит, при \(c < -1\) прямая \(y = c\) проходит ниже всего графика и общих точек нет; при \(c = -1\) общая точка одна — вершина \((-1; -1)\); при \(c > -1\) общих точек две: на левом луче и на возрастающей части.
Проверка: при \(c = 5\): \(-2x - 3 = 5\) даёт \(x = -4\) (меньше \(-1\)), \(3x + 2 = 5\) даёт \(x = 1\) (от \(-1\) до 2), \(4x = 5\) даёт \(x = 1{,}25\) (меньше 2, не подходит) — общих точек две: \((-4; 5)\) и \((1; 5)\).
При \(c = -2\): \(-2x - 3 = -2\) даёт \(x = -0{,}5\) (больше \(-1\)), \(3x + 2 = -2\) даёт \(x = -\frac{4}{3}\) (меньше \(-1\)), \(4x = -2\) даёт \(x = -0{,}5\) (меньше 2) — ни одно значение в свой промежуток не попадает, общих точек нет.
Ответ: при \(c < -1\) общих точек нет; при \(c = -1\) общая точка одна — \((-1; -1)\); при \(c > -1\) общих точек две.
Дана кусочно-линейная функция
\[y = \begin{cases} -2x - 3 & \text{при } x < -1, \\ 3x + 2 & \text{при } -1 \leqslant x < 2, \\ 4x & \text{при } x \geqslant 2. \end{cases}\]
Постройте в тетради график этой функции и определите, сколько точек пересечения с горизонтальной прямой вида \(y = c\) может иметь график этой функции при различных \(c\).
График строим по частям: на каждом промежутке это часть прямой, поэтому достаточно построить прямые по двум точкам и оставить нужные части.
Прямая \(y = -2x - 3\) проходит через точки \((-3; 3)\) и \((-1; -1)\), потому что \(-2 \cdot (-3) - 3 = 3\) и \(-2 \cdot (-1) - 3 = -1\); от неё оставляем часть при \(x < -1\).
Прямая \(y = 3x + 2\) проходит через точки \((-1; -1)\) и \((2; 8)\), потому что \(3 \cdot (-1) + 2 = -1\) и \(3 \cdot 2 + 2 = 8\); от неё оставляем часть при \(-1 \leqslant x < 2\).
Прямая \(y = 4x\) проходит через точки \((2; 8)\) и \((3; 12)\); от неё оставляем часть при \(x \geqslant 2\).
На стыках промежутков значения соседних формул совпадают: при \(x = -1\) обе формулы дают \(-1\), при \(x = 2\) обе формулы дают 8. Поэтому части графика смыкаются, выколотых точек нет, и график — сплошная ломаная с вершинами \((-1; -1)\) и \((2; 8)\).
Выясним, сколько общих точек может иметь этот график с горизонтальной прямой \(y = c\).
При \(x < -1\) угловой коэффициент равен \(-2\), функция убывает, и её значения больше, чем \(-2 \cdot (-1) - 3 = -1\). Каждое значение, большее \(-1\), левая часть графика принимает ровно один раз.
При \(x \geqslant -1\) функция возрастает: сначала с угловым коэффициентом 3, затем с угловым коэффициентом 4. Наименьшее значение \(-1\) она принимает при \(x = -1\), дальше значения только увеличиваются, поэтому каждое значение, не меньшее \(-1\), правая часть графика принимает ровно один раз.
Следовательно, при \(c < -1\) прямая \(y = c\) проходит ниже всего графика и общих точек с ним не имеет; при \(c = -1\) общая точка одна — это вершина \((-1; -1)\); при \(c > -1\) общих точек две: одна на левом луче, другая на возрастающей части.
Проверим сказанное на числах. При \(c = 5\) на левом луче \(-2x - 3 = 5\), откуда \(x = -4\), и это значение меньше \(-1\); на средней части \(3x + 2 = 5\), откуда \(x = 1\), и это значение попадает в промежуток от \(-1\) до 2; на правом луче \(4x = 5\) даёт \(x = 1{,}25\), что меньше 2, и в свой промежуток не попадает. Общих точек две: \((-4; 5)\) и \((1; 5)\).
При \(c = -2\) на левом луче \(-2x - 3 = -2\) даёт \(x = -0{,}5\), что больше \(-1\); на средней части \(3x + 2 = -2\) даёт \(x = -\frac{4}{3}\), что меньше \(-1\); на правом луче \(4x = -2\) даёт \(x = -0{,}5\), что меньше 2. Ни одно из значений не попадает в свой промежуток, поэтому общих точек нет.
Ответ: при \(c < -1\) общих точек нет; при \(c = -1\) общая точка одна — \((-1; -1)\); при \(c > -1\) общих точек две.
