Страница 212 номер 1191, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Петя нашёл целочисленное решение \((x_0; y_0)\) уравнения \(6x + 7y = 2\). Вася прибавил к значениям \(x_0\) и \(y_0\) числа \(a\) и \(b\) соответственно и получил новое целочисленное решение \((x_0 + a; y_0 + b)\) этого же уравнения.
а) Найдите наименьшее натуральное \(a\), которое мог прибавить Вася.
б) Чему в этом случае может быть равно \(b\)?
\(6x_0 + 7y_0 = 2\) и \(6(x_0 + a) + 7(y_0 + b) = 2\).
\(6x_0 + 7y_0 + 6a + 7b = 2\), где \(6x_0 + 7y_0 = 2\), поэтому \(2 + 6a + 7b = 2\), откуда
\[6a + 7b = 0.\]
Обе пары целочисленные, поэтому \(a\) и \(b\) целые.
а) \(6a = -7b\), правая часть делится на 7, значит, и \(6a\) делится на 7. Тогда \(a = 7a - 6a\) делится на 7, а наименьшее такое натуральное число — 7, то есть \(a = 7\).
б) При \(a = 7\): \(42 + 7b = 0\), откуда \(7b = -42\) и \(b = -6\).
Проверка: пара \((-2; 2)\) — решение, так как \(6 \cdot (-2) + 7 \cdot 2 = -12 + 14 = 2\).
Прибавим 7 и \(-6\): пара \((5; -4)\) тоже решение, так как \(6 \cdot 5 + 7 \cdot (-4) = 30 - 28 = 2\).
Ответ: а) \(a = 7\); б) \(b = -6\).
Петя нашёл целочисленное решение \((x_0; y_0)\) уравнения \(6x + 7y = 2\). Вася прибавил к значениям \(x_0\) и \(y_0\) числа \(a\) и \(b\) соответственно и получил новое целочисленное решение \((x_0 + a; y_0 + b)\) этого же уравнения.
а) Найдите наименьшее натуральное \(a\), которое мог прибавить Вася.
б) Чему в этом случае может быть равно \(b\)?
Пара \((x_0; y_0)\) — решение уравнения, поэтому верно равенство \(6x_0 + 7y_0 = 2\).
Пара \((x_0 + a; y_0 + b)\) — тоже решение этого уравнения, поэтому верно равенство
\[6(x_0 + a) + 7(y_0 + b) = 2.\]
Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые: \(6x_0 + 7y_0 + 6a + 7b = 2\). Сумма \(6x_0 + 7y_0\) равна 2, значит, \(2 + 6a + 7b = 2\), откуда
\[6a + 7b = 0.\]
Обе пары целочисленные, поэтому числа \(a\) и \(b\) целые.
а) Из равенства \(6a + 7b = 0\) получаем \(6a = -7b\). Правая часть делится на 7, значит, и число \(6a\) делится на 7. Но \(a = 7a - 6a\), где \(7a\) делится на 7 и \(6a\) делится на 7, поэтому и \(a\) делится на 7.
Наименьшее натуральное число, которое делится на 7, — само число 7. Значит, \(a = 7\).
б) При \(a = 7\) равенство \(6a + 7b = 0\) принимает вид \(42 + 7b = 0\), откуда \(7b = -42\) и \(b = -6\).
Проверка: пара \((-2; 2)\) — решение уравнения, так как \(6 \cdot (-2) + 7 \cdot 2 = -12 + 14 = 2\). Прибавим к её числам 7 и \(-6\): получится пара \((5; -4)\), и \(6 \cdot 5 + 7 \cdot (-4) = 30 - 28 = 2\) — это тоже решение.
Ответ: а) \(a = 7\); б) \(b = -6\).
