Страница 212 номер 1190, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Запишите уравнение прямой, которая симметрична относительно оси \(x\) прямой, заданной уравнением \(y = 5x - 4\).
Точке \((x; y)\) симметрична относительно оси \(x\) точка \((x; -y)\).
При \(x = 0\): \(y = 5 \cdot 0 - 4 = -4\) — точка \(A(0; -4)\).
При \(x = 1\): \(y = 5 \cdot 1 - 4 = 1\) — точка \(B(1; 1)\).
Симметричные им точки \(A_1(0; 4)\) и \(B_1(1; -1)\) лежат на искомой прямой.
\[k = \frac{y_{B_1} - y_{A_1}}{x_{B_1} - x_{A_1}} = \frac{-1 - 4}{1 - 0} = -5.\]
\(4 = -5 \cdot 0 + b\), откуда \(b = 4\).
Уравнение годится для всей прямой: у точки, симметричной точке \((x; y)\) прямой \(y = 5x - 4\), та же абсцисса и ордината \(-y = -(5x - 4) = -5x + 4\).
Проверка: точка \((2; 6)\) лежит на данной прямой, так как \(5 \cdot 2 - 4 = 6\).
Симметричная ей точка \((2; -6)\) лежит на найденной, так как \(-5 \cdot 2 + 4 = -6\).
Ответ: \(y = -5x + 4\).
Запишите уравнение прямой, которая симметрична относительно оси \(x\) прямой, заданной уравнением \(y = 5x - 4\).
Точка, симметричная точке \((x; y)\) относительно оси \(x\), имеет координаты \((x; -y)\): абсцисса сохраняется, а ордината меняет знак.
Возьмём на прямой \(y = 5x - 4\) две точки. При \(x = 0\) получаем \(y = 5 \cdot 0 - 4 = -4\), при \(x = 1\) получаем \(y = 5 \cdot 1 - 4 = 1\), то есть на прямой лежат точки \(A(0; -4)\) и \(B(1; 1)\).
Симметричные им относительно оси \(x\) точки \(A_1(0; 4)\) и \(B_1(1; -1)\) лежат на искомой прямой. Найдём задающую её линейную функцию по этим двум точкам. По основному свойству линейной функции
\[k = \frac{y_{B_1} - y_{A_1}}{x_{B_1} - x_{A_1}} = \frac{-1 - 4}{1 - 0} = -5.\]
Значит, искомая прямая задаётся уравнением \(y = -5x + b\). Подставим в него координаты точки \(A_1(0; 4)\): \(4 = -5 \cdot 0 + b\), откуда \(b = 4\).
Найденное уравнение годится для всей прямой, а не только для двух выбранных точек: если точка \((x; y)\) лежит на прямой \(y = 5x - 4\), то симметричная ей точка имеет ту же абсциссу и ординату \(-y = -(5x - 4) = -5x + 4\), то есть лежит на прямой \(y = -5x + 4\).
Проверка: точка \((2; 6)\) лежит на данной прямой, так как \(5 \cdot 2 - 4 = 6\); симметричная ей точка \((2; -6)\) лежит на найденной прямой, так как \(-5 \cdot 2 + 4 = -6\).
Ответ: \(y = -5x + 4\).
