Страница 212 номер 1188, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Дана доска \(n \times n\), где \(n \geqslant 5\). Найдите выражение для функции, задающей количество клеток, из которых шахматный конь бьёт ровно 6 клеток.
Клетка строки \(i\) и столбца \(j\) — \((i; j)\), номера строк и столбцов от 1 до \(n\). Ходы коня:
\[\begin{gathered} (i - 1; j - 2), \ (i - 1; j + 2), \ (i + 1; j - 2), \ (i + 1; j + 2), \\ (i - 2; j - 1), \ (i - 2; j + 1), \ (i + 2; j - 1), \ (i + 2; j + 1). \end{gathered}\]
Ход возможен, когда оба номера от 1 до \(n\).
\(i = 1\): ходы \((0; j - 2)\), \((0; j + 2)\), \((-1; j - 1)\), \((-1; j + 1)\) за краем — не больше 4 битых клеток; то же для последней строки и крайних столбцов. Значит, \(i\) и \(j\) от 2 до \(n - 1\).
\(3 \leqslant i \leqslant n - 2\), \(3 \leqslant j \leqslant n - 2\): все номера ходов от 1 до \(n\) — 8 битых клеток.
\(i = 2\), \(3 \leqslant j \leqslant n - 2\): за краем два хода \((0; j - 1)\), \((0; j + 1)\), остальные шесть ведут в строки 1, 3, 4 и столбцы \(j - 2\), \(j - 1\), \(j + 1\), \(j + 2\) — номера от 1 до \(n\), потому что \(j \geqslant 3\), \(j \leqslant n - 2\), \(n \geqslant 5\); ровно 6 битых клеток. По симметрии — строка \(n - 1\), столбцы 2 и \(n - 1\).
Оба номера равны 2 или \(n - 1\) — таких клеток четыре: с \((2; 2)\) за краем ходы \((0; 1)\), \((0; 3)\), \((1; 0)\), \((3; 0)\) — 4 битые клетки.
Значит, подходят четыре непересекающихся набора: строки 2 и \(n - 1\) со столбцами с 3-го по \((n - 2)\)-й, столбцы 2 и \(n - 1\) со строками с 3-й по \((n - 2)\)-ю, по \((n - 2) - 3 + 1 = n - 4\) клетки.
\[f(n) = 4(n - 4) = 4n - 16.\]
Проверка на доске \(6 \times 6\) — число битых полей:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline 2 & 3 & 4 & 4 & 3 & 2 \\ \hline 3 & 4 & 6 & 6 & 4 & 3 \\ \hline 4 & 6 & 8 & 8 & 6 & 4 \\ \hline 4 & 6 & 8 & 8 & 6 & 4 \\ \hline 3 & 4 & 6 & 6 & 4 & 3 \\ \hline 2 & 3 & 4 & 4 & 3 & 2 \\ \hline \end{array}\]
Шестёрок восемь, и \(f(6) = 4 \cdot 6 - 16 = 8\).
Ответ: \(f(n) = 4n - 16\), где \(n \geqslant 5\).
Дана доска \(n \times n\), где \(n \geqslant 5\). Найдите выражение для функции, задающей количество клеток, из которых шахматный конь бьёт ровно 6 клеток.
Пронумеруем строки и столбцы доски числами от 1 до \(n\), а клетку, стоящую в строке \(i\) и столбце \(j\), обозначим \((i; j)\).
С клетки \((i; j)\) конь ходит на восемь клеток:
\[\begin{gathered} (i - 1; j - 2), \ (i - 1; j + 2), \ (i + 1; j - 2), \ (i + 1; j + 2), \\ (i - 2; j - 1), \ (i - 2; j + 1), \ (i + 2; j - 1), \ (i + 2; j + 1). \end{gathered}\]
Ход возможен только тогда, когда номера строки и столбца полученной клетки не меньше 1 и не больше \(n\). Поэтому конь бьёт столько клеток, сколько из этих восьми ходов остаются возможными.
Если клетка стоит в первой строке (\(i = 1\)), то ходы \((0; j - 2)\), \((0; j + 2)\), \((-1; j - 1)\), \((-1; j + 1)\) уводят за верхний край: четыре хода невозможны, и конь бьёт не больше 4 клеток. То же верно для последней строки, для первого и для последнего столбцов. Значит, у клетки, из которой конь бьёт ровно 6 клеток, оба номера \(i\) и \(j\) не меньше 2 и не больше \(n - 1\).
Пусть \(3 \leqslant i \leqslant n - 2\) и \(3 \leqslant j \leqslant n - 2\). Тогда все числа \(i - 2\), \(i - 1\), \(i + 1\), \(i + 2\), \(j - 2\), \(j - 1\), \(j + 1\), \(j + 2\) лежат от 1 до \(n\), все восемь ходов возможны, и конь бьёт 8 клеток.
Пусть \(i = 2\), а \(3 \leqslant j \leqslant n - 2\). Ходы \((0; j - 1)\) и \((0; j + 1)\) уводят за верхний край — их два. Остальные шесть ходов ведут в строки 1, 3 и 4 и в столбцы \(j - 2\), \(j - 1\), \(j + 1\), \(j + 2\); все эти номера лежат от 1 до \(n\), потому что \(j \geqslant 3\), \(j \leqslant n - 2\) и \(n \geqslant 5\). Значит, конь бьёт ровно 6 клеток. По симметрии доски то же верно для строки \(n - 1\), для столбца 2 и для столбца \(n - 1\).
Осталось разобрать клетки, у которых каждый из номеров \(i\) и \(j\) равен 2 или \(n - 1\); таких клеток четыре. Например, с клетки \((2; 2)\) ходы \((0; 1)\) и \((0; 3)\) уводят вверх за край, а ходы \((1; 0)\) и \((3; 0)\) — влево за край: четыре хода невозможны, и конь бьёт 4 клетки.
Следовательно, ровно 6 клеток конь бьёт только из клеток четырёх наборов:
строка 2 со столбцами от 3-го до \((n - 2)\)-го;
строка \(n - 1\) со столбцами от 3-го до \((n - 2)\)-го;
столбец 2 со строками от 3-й до \((n - 2)\)-й;
столбец \(n - 1\) со строками от 3-й до \((n - 2)\)-й.
Наборы не пересекаются, и в каждом из них по \((n - 2) - 3 + 1 = n - 4\) клетки. Количество нужных клеток задаётся линейной функцией
\[f(n) = 4(n - 4) = 4n - 16.\]
Проверка на доске \(6 \times 6\): выпишем в каждой клетке число битых полей.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline 2 & 3 & 4 & 4 & 3 & 2 \\ \hline 3 & 4 & 6 & 6 & 4 & 3 \\ \hline 4 & 6 & 8 & 8 & 6 & 4 \\ \hline 4 & 6 & 8 & 8 & 6 & 4 \\ \hline 3 & 4 & 6 & 6 & 4 & 3 \\ \hline 2 & 3 & 4 & 4 & 3 & 2 \\ \hline \end{array}\]
Шестёрок в таблице восемь, и формула даёт \(f(6) = 4 \cdot 6 - 16 = 8\).
Ответ: \(f(n) = 4n - 16\), где \(n \geqslant 5\).
