Страница 212 номер 1186, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Постройте график функции \(y = |x - 3| + |2x - 2|\).
Подмодульные выражения обращаются в нуль при \(x = 3\) и при \(x = 1\) — три промежутка.
При \(x < 1\): \(|x - 3| = 3 - x\) и \(|2x - 2| = 2 - 2x\).
\[y = (3 - x) + (2 - 2x) = -3x + 5.\]
При \(1 \leqslant x < 3\): \(|x - 3| = 3 - x\) и \(|2x - 2| = 2x - 2\).
\[y = (3 - x) + (2x - 2) = x + 1.\]
При \(x \geqslant 3\): \(|x - 3| = x - 3\) и \(|2x - 2| = 2x - 2\).
\[y = (x - 3) + (2x - 2) = 3x - 5.\]
\[y = \begin{cases} -3x + 5 & \text{при } x < 1, \\ x + 1 & \text{при } 1 \leqslant x < 3, \\ 3x - 5 & \text{при } x \geqslant 3. \end{cases}\]
На границах промежутков значения соседних формул совпадают: при \(x = 1\) это \(-3 \cdot 1 + 5 = 2\) и \(1 + 1 = 2\), при \(x = 3\) это \(3 + 1 = 4\) и \(3 \cdot 3 - 5 = 4\) — части смыкаются, выколотых точек нет, график — сплошная ломаная с вершинами \((1; 2)\) и \((3; 4)\).
Прямая \(y = -3x + 5\) проходит через \((-1; 8)\) и \((1; 2)\), прямая \(y = x + 1\) — через \((1; 2)\) и \((3; 4)\), прямая \(y = 3x - 5\) — через \((3; 4)\) и \((4; 7)\); от каждой оставляем часть на своём промежутке.
Проверка: при \(x = 0\): \(|0 - 3| + |2 \cdot 0 - 2| = 3 + 2 = 5\) и \(-3 \cdot 0 + 5 = 5\).
При \(x = 2\): \(|2 - 3| + |2 \cdot 2 - 2| = 1 + 2 = 3\) и \(2 + 1 = 3\).
При \(x = 4\): \(|4 - 3| + |2 \cdot 4 - 2| = 1 + 6 = 7\) и \(3 \cdot 4 - 5 = 7\) — равенства верные.
Ответ: график — ломаная с вершинами \((1; 2)\) и \((3; 4)\): при \(x \leqslant 1\) это луч прямой \(y = -3x + 5\), при \(1 \leqslant x \leqslant 3\) — отрезок прямой \(y = x + 1\), при \(x \geqslant 3\) — луч прямой \(y = 3x - 5\).
Постройте график функции \(y = |x - 3| + |2x - 2|\).
Выражения под знаками модуля обращаются в нуль при \(x = 3\) и при \(x = 1\). Эти два числа разбивают числовую прямую на три промежутка: \(x < 1\), \(1 \leqslant x < 3\) и \(x \geqslant 3\). На каждом из них модули раскрываются по определению.
При \(x < 1\) оба выражения отрицательны, поэтому \(|x - 3| = 3 - x\) и \(|2x - 2| = 2 - 2x\):
\[y = (3 - x) + (2 - 2x) = -3x + 5.\]
При \(1 \leqslant x < 3\) выражение \(x - 3\) отрицательно, а \(2x - 2\) неотрицательно, поэтому \(|x - 3| = 3 - x\) и \(|2x - 2| = 2x - 2\):
\[y = (3 - x) + (2x - 2) = x + 1.\]
При \(x \geqslant 3\) оба выражения неотрицательны, поэтому \(|x - 3| = x - 3\) и \(|2x - 2| = 2x - 2\):
\[y = (x - 3) + (2x - 2) = 3x - 5.\]
На каждом промежутке функция задана формулой вида \(y = kx + b\), значит, она кусочно-линейная:
\[y = \begin{cases} -3x + 5 & \text{при } x < 1, \\ x + 1 & \text{при } 1 \leqslant x < 3, \\ 3x - 5 & \text{при } x \geqslant 3. \end{cases}\]
На границах промежутков значения соседних формул совпадают: при \(x = 1\) первая формула даёт \(-3 \cdot 1 + 5 = 2\) и вторая даёт \(1 + 1 = 2\); при \(x = 3\) вторая даёт \(3 + 1 = 4\) и третья даёт \(3 \cdot 3 - 5 = 4\). Значит, части графика смыкаются в точках \((1; 2)\) и \((3; 4)\), и график — сплошная ломаная без выколотых точек.
Каждую часть строим по двум точкам. Прямая \(y = -3x + 5\) проходит через точки \((-1; 8)\) и \((1; 2)\), прямая \(y = x + 1\) — через точки \((1; 2)\) и \((3; 4)\), прямая \(y = 3x - 5\) — через точки \((3; 4)\) и \((4; 7)\); от каждой прямой оставляем часть, соответствующую своему промежутку.
Проверим найденные формулы подстановкой в исходную. При \(x = 0\): \(|0 - 3| + |2 \cdot 0 - 2| = 3 + 2 = 5\) и \(-3 \cdot 0 + 5 = 5\). При \(x = 2\): \(|2 - 3| + |2 \cdot 2 - 2| = 1 + 2 = 3\) и \(2 + 1 = 3\). При \(x = 4\): \(|4 - 3| + |2 \cdot 4 - 2| = 1 + 6 = 7\) и \(3 \cdot 4 - 5 = 7\) — равенства верные.
Ответ: график — ломаная с вершинами \((1; 2)\) и \((3; 4)\): при \(x \leqslant 1\) это луч прямой \(y = -3x + 5\), при \(1 \leqslant x \leqslant 3\) — отрезок прямой \(y = x + 1\), при \(x \geqslant 3\) — луч прямой \(y = 3x - 5\).
