Страница 212 номер 1185, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите значение \(a\), если известно, что точки \(A(10; 5)\), \(B(6; a - 3)\) и \(C(4; a + 7)\) лежат на одной прямой.
\[k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{(a - 3) - 5}{6 - 10} = \frac{a - 8}{-4}.\]
\[k_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{(a + 7) - (a - 3)}{4 - 6} = \frac{10}{-2} = -5.\]
Обе прямые проходят через точку \(B\), поэтому при равных угловых коэффициентах это одна прямая. Приравняем коэффициенты и умножим обе части на \(-4\):
\[\frac{a - 8}{-4} = -5; \qquad a - 8 = 20; \qquad a = 28.\]
Проверка: при \(a = 28\) точки имеют координаты \(A(10; 5)\), \(B(6; 25)\), \(C(4; 35)\).
\(\frac{25 - 5}{6 - 10} = -5\) — угловой коэффициент прямой \(AB\).
\(5 = -5 \cdot 10 + b\), откуда \(b = 55\), прямая \(AB\) задаётся формулой \(y = -5x + 55\).
При \(x = 4\): \(-5 \cdot 4 + 55 = 35\) — точка \(C\) лежит на этой прямой.
Ответ: \(a = 28\).
Найдите значение \(a\), если известно, что точки \(A(10; 5)\), \(B(6; a - 3)\) и \(C(4; a + 7)\) лежат на одной прямой.
Найдём угловой коэффициент прямой, проходящей через точки \(A(10; 5)\) и \(B(6; a - 3)\). По основному свойству линейной функции
\[k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{(a - 3) - 5}{6 - 10} = \frac{a - 8}{-4}.\]
Так же найдём угловой коэффициент прямой, проходящей через точки \(B(6; a - 3)\) и \(C(4; a + 7)\):
\[k_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{(a + 7) - (a - 3)}{4 - 6} = \frac{10}{-2} = -5.\]
Обе прямые проходят через точку \(B\). Если их угловые коэффициенты равны, то это одна и та же прямая и все три точки лежат на ней. Приравняем угловые коэффициенты и умножим обе части получившегося уравнения на \(-4\):
\[\frac{a - 8}{-4} = -5; \qquad a - 8 = 20; \qquad a = 28.\]
Проверка: при \(a = 28\) точки имеют координаты \(A(10; 5)\), \(B(6; 25)\) и \(C(4; 35)\). Угловой коэффициент прямой \(AB\) равен \(\frac{25 - 5}{6 - 10} = -5\), а коэффициент \(b\) найдём подстановкой координат точки \(A\) в формулу \(y = -5x + b\): \(5 = -5 \cdot 10 + b\), откуда \(b = 55\). Прямая \(AB\) задаётся формулой \(y = -5x + 55\), и при \(x = 4\) она даёт \(-5 \cdot 4 + 55 = 35\) — точка \(C\) лежит на этой же прямой.
Ответ: \(a = 28\).
