Страница 212 номер 1181, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите координаты точки, через которую проходят графики всех функций вида \(y = mx + 2m + 1\), где \(m\) — параметр.
Ордината искомой точки не должна зависеть от \(m\):
\[y = mx + 2m + 1 = m(x + 2) + 1.\]
Значение \(y\) не зависит от \(m\) только тогда, когда множитель при \(m\) равен нулю:
\[x + 2 = 0; \qquad x = -2.\]
При \(x = -2\): \(y = m \cdot 0 + 1 = 1\) при любом \(m\) — общая точка \((-2; 1)\).
При всяком другом \(x\) множитель \(x + 2\) отличен от нуля, поэтому разным значениям \(m\) отвечают разные значения \(y\), и другой общей точки нет.
Проверка: при \(m = 0\) получаем \(y = 1\), при \(m = 3\) — \(y = 3x + 7\), и \(3 \cdot (-2) + 7 = 1\) — обе прямые проходят через точку \((-2; 1)\).
Ответ: \((-2; 1)\).
Найдите координаты точки, через которую проходят графики всех функций вида \(y = mx + 2m + 1\), где \(m\) — параметр.
Искомая точка должна лежать на графике при любом значении параметра \(m\), то есть её ордината не должна зависеть от \(m\). Соберём слагаемые с параметром и вынесем \(m\) за скобки:
\[y = mx + 2m + 1 = m(x + 2) + 1.\]
Значение \(y\) не зависит от \(m\) только тогда, когда множитель при \(m\) равен нулю:
\[x + 2 = 0; \qquad x = -2.\]
При \(x = -2\) получаем \(y = m \cdot 0 + 1 = 1\) — одно и то же значение при любом \(m\). Значит, графики всех таких функций проходят через точку \((-2; 1)\).
При всяком другом значении \(x\) множитель \(x + 2\) отличен от нуля, поэтому разным значениям \(m\) отвечают разные значения \(y\), и другой общей точки у графиков нет.
Проверка: при \(m = 0\) функция задаётся формулой \(y = 1\), при \(m = 3\) — формулой \(y = 3x + 7\). Для второй из них при \(x = -2\) получаем \(3 \cdot (-2) + 7 = 1\) — обе прямые проходят через точку \((-2; 1)\).
Ответ: \((-2; 1)\).
