Страница 211 номер 1174, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Группа туристов отправилась из лагеря на прогулку к лесному озеру. На графике (рис. 212) изображена зависимость расстояния \(s\) (в километрах) группы до лагеря от времени \(t\) (в часах) с начала их движения.
а) Сколько времени туристы провели на озере?
б) С какой скоростью они двигались на пути к озеру?
в) С помощью кусочно-линейной функции задайте зависимость расстояния \(s\) от времени \(t\).
Клетка по оси \(t\) — 1 ч (подписана засечка 1), по оси \(s\) — 2 км (подписана засечка 2).
Ломаная идёт из начала координат \((0; 0)\) до вершины на четвёртой линии сетки справа и седьмой выше оси \(t\) — это точка \((4; 14)\), затем горизонтально до \((7; 14)\) и вниз до точки \((12; 0)\) на оси \(t\).
а) На озере расстояние до лагеря не меняется — это горизонтальное звено от \((4; 14)\) до \((7; 14)\): \(7 - 4 = 3\) (ч).
б) \(14 : 4 = 3{,}5\) (км/ч) — скорость на пути к озеру.
Проверка: \(3{,}5 \cdot 4 = 14\) (км) — расстояние, на которое туристы удалились от лагеря.
в) При \(0 \leqslant t < 4\): \(s = 3{,}5t\) (коэффициент пропорциональности — скорость), концы промежутка дают точки \((0; 0)\) и \((4; 14)\).
При \(4 \leqslant t < 7\) расстояние постоянно: \(s = 14\).
При \(7 \leqslant t \leqslant 12\) звено проходит через точки \((7; 14)\) и \((12; 0)\):
\[k = \frac{0 - 14}{12 - 7} = \frac{-14}{5} = -2{,}8.\]
\[0 = -2{,}8 \cdot 12 + b; \qquad 0 = -33{,}6 + b; \qquad b = 33{,}6.\]
При \(t = 7\) формула \(s = -2{,}8t + 33{,}6\) даёт \(-2{,}8 \cdot 7 + 33{,}6 = -19{,}6 + 33{,}6 = 14\) — второй конец промежутка тоже подходит.
\[s = \begin{cases} 3{,}5t & \text{при } 0 \leqslant t < 4, \\ 14 & \text{при } 4 \leqslant t < 7, \\ -2{,}8t + 33{,}6 & \text{при } 7 \leqslant t \leqslant 12. \end{cases}\]
Ответ: а) 3 часа; б) \(3{,}5\) км/ч; в) \(s = 3{,}5t\) при \(0 \leqslant t < 4\), \(s = 14\) при \(4 \leqslant t < 7\), \(s = -2{,}8t + 33{,}6\) при \(7 \leqslant t \leqslant 12\).
Группа туристов отправилась из лагеря на прогулку к лесному озеру. На графике (рис. 212) изображена зависимость расстояния \(s\) (в километрах) группы до лагеря от времени \(t\) (в часах) с начала их движения.
а) Сколько времени туристы провели на озере?
б) С какой скоростью они двигались на пути к озеру?
в) С помощью кусочно-линейной функции задайте зависимость расстояния \(s\) от времени \(t\).
Сначала определим цену клетки. На оси \(t\) подписано деление 1, и оно приходится на первую линию сетки справа от начала координат: сторона клетки по горизонтали — 1 час. На оси \(s\) подписано деление 2, и оно приходится на первую линию сетки выше оси \(t\): сторона клетки по вертикали — 2 километра.
График — ломаная из трёх звеньев. Она начинается в начале координат: в момент \(t = 0\) туристы ещё в лагере, и расстояние до него равно нулю. Вершина, в которой подъём сменяется горизонтальным участком, стоит на четвёртой линии сетки справа от оси \(s\) и на седьмой линии сетки выше оси \(t\), то есть это точка \((4; 14)\). Вторая вершина стоит на седьмой линии справа и на той же высоте — это точка \((7; 14)\). Спуск заканчивается на оси \(t\) на двенадцатой линии сетки — в точке \((12; 0)\).
а) Пока туристы на озере, расстояние до лагеря не меняется — этому отвечает горизонтальное звено от точки \((4; 14)\) до точки \((7; 14)\). Значит, на озере они пробыли \(7 - 4 = 3\) (ч).
б) До озера туристы прошли 14 километров за 4 часа, поэтому их скорость на пути к озеру \(14 : 4 = 3{,}5\) (км/ч).
Проверка: за 4 часа со скоростью \(3{,}5\) км/ч проходят \(3{,}5 \cdot 4 = 14\) (км) — ровно то расстояние, на которое туристы удалились от лагеря.
в) На каждом из трёх промежутков зависимость задаётся формулой вида \(s = kt + b\).
На первом промежутке (\(0 \leqslant t < 4\)) расстояние прямо пропорционально времени, и коэффициент пропорциональности — скорость: \(s = 3{,}5t\). При \(t = 0\) получаем \(s = 3{,}5 \cdot 0 = 0\), при \(t = 4\) получаем \(s = 3{,}5 \cdot 4 = 14\) — концы промежутка дают точки \((0; 0)\) и \((4; 14)\).
На втором промежутке (\(4 \leqslant t < 7\)) расстояние постоянно: \(s = 14\).
На третьем промежутке (\(7 \leqslant t \leqslant 12\)) звено проходит через точки \((7; 14)\) и \((12; 0)\). Найдём его угловой коэффициент:
\[k = \frac{0 - 14}{12 - 7} = \frac{-14}{5} = -2{,}8.\]
Подставим координаты точки \((12; 0)\) в формулу \(s = -2{,}8t + b\):
\[0 = -2{,}8 \cdot 12 + b; \qquad 0 = -33{,}6 + b; \qquad b = 33{,}6.\]
При \(t = 7\) формула \(s = -2{,}8t + 33{,}6\) даёт \(s = -2{,}8 \cdot 7 + 33{,}6 = -19{,}6 + 33{,}6 = 14\) — второй конец промежутка тоже подходит.
Собирая три формулы вместе, получаем кусочно-линейную функцию
\[s = \begin{cases} 3{,}5t & \text{при } 0 \leqslant t < 4, \\ 14 & \text{при } 4 \leqslant t < 7, \\ -2{,}8t + 33{,}6 & \text{при } 7 \leqslant t \leqslant 12. \end{cases}\]
Ответ: а) 3 часа; б) \(3{,}5\) км/ч; в) \(s = 3{,}5t\) при \(0 \leqslant t < 4\), \(s = 14\) при \(4 \leqslant t < 7\), \(s = -2{,}8t + 33{,}6\) при \(7 \leqslant t \leqslant 12\).
