Темы исследовательских работ на странице 211, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
1. Леонард Эйлер и его вклад в развитие теории функций.
2. Научные интересы и гениальные открытия Н. И. Лобачевского.
3. Физические процессы с линейной зависимостью величин.
План доклада:
1. Леонард Эйлер (1707–1783): Базель, Петербургская и Берлинская академии наук.
2. Что понимали под функцией до Эйлера: Готфрид Лейбниц и Иоганн Бернулли.
3. «Введение в анализ бесконечных» (1748 год): функция становится главным понятием математики.
4. Обозначение \(f(x)\) и другие знаки, введённые Эйлером.
5. Общее определение функции и его судьба в XIX веке.
6. Работа после потери зрения и наследие Эйлера.
Основное содержание.
Леонард Эйлер (1707–1783): Базель, ученик Иоганна Бернулли; с 1727 года — Петербургская академия наук, с 1741 по 1766 год — Берлинская, затем снова Петербург; более восьмисот работ.
Слово «функция» ввёл в конце XVII века Готфрид Лейбниц, первое определение («выражение, составленное из переменной величины и постоянных») дал в 1718 году Иоганн Бернулли; главным понятием математики функция тогда не была — изучали кривые линии.
«Введение в анализ бесконечных» (1748 год): функция впервые стала главным предметом изучения — Эйлер разобрал, какими функции бывают (алгебраические и трансцендентные, явные и неявные, чётные и нечётные), как их складывать, умножать, подставлять одну в другую.
Обозначение \(f(x)\) Эйлер ввёл в 1730-е годы: \(f(x) = -0{,}5x + 5\) даёт \(f(2) = -0{,}5 \cdot 2 + 5 = -1 + 5 = 4\). Ему принадлежат также знаки \(e\), \(i\), \(\sum\), буква \(\pi\) и сокращённые названия тригонометрических функций.
Позже Эйлер назвал функцией величину, которая меняется при изменении другой, — это близко к определению Лежёна Дирихле и Лобачевского, сложившемуся в XIX веке.
Почти ослепнув, Эйлер продолжал работать, диктуя сочинения ученикам.
Резюме: Таким образом, Леонард Эйлер (1707–1783) сделал функцию главным понятием математики: в книге «Введение в анализ бесконечных» (1748 год) он впервые изложил теорию функций и их классификацию, ввёл обозначение \(f(x)\), а также знаки \(e\), \(i\), \(\sum\) и букву \(\pi\), и подошёл к общему определению функции как зависимости одной величины от другой.
План доклада:
1. Николай Иванович Лобачевский (1792–1856): Нижний Новгород, Казань, университет.
2. Пятый постулат Евклида и двухтысячелетние попытки его доказать.
3. Доклад 11 февраля 1826 года и работа «О началах геометрии»: рождение новой геометрии.
4. Чем геометрия Лобачевского отличается от евклидовой.
5. Другие результаты: определение функции, признак сходимости рядов, приближённое решение уравнений.
6. Лобачевский — ректор Казанского университета.
7. Признание после смерти: «Коперник геометрии».
Основное содержание.
Николай Иванович Лобачевский (1792–1856): родился в Нижнем Новгороде, вся научная жизнь прошла в Казани — гимназия, университет, профессура, ректорство с 1827 по 1846 год.
Пятый постулат Евклида: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Две тысячи лет его безуспешно пытались вывести из остальных аксиом.
Лобачевский предположил противоположное — через точку вне прямой проходит более одной прямой, не пересекающей данную, — и выводил следствия, ожидая противоречия. Противоречия не появилось: получилась новая, столь же стройная геометрия. Доклад 11 февраля 1826 года считают днём рождения неевклидовой геометрии, работа «О началах геометрии» напечатана в 1829–1830 годах.
Отличия от евклидовой: сумма углов треугольника меньше \(180^\circ\) и тем меньше, чем треугольник больше; подобных, но не равных треугольников нет вовсе. Такой геометрией пользуются в теории относительности и в астрономии.
Другие результаты: общее определение функции (1834 год) — функцией называют число, заданное для каждого значения \(x\) и меняющееся вместе с \(x\) по любому закону, не обязательно формуле; признак сходимости рядов; приближённое вычисление корней уравнений.
Будучи ректором, Лобачевский построил в Казани обсерваторию, библиотеку, физический кабинет и химическую лабораторию, спас университет при эпидемии холеры 1830 года и пожаре 1842 года.
При жизни открытие не признали; «Коперником геометрии» Лобачевского назвали после смерти, когда стало ясно, что новая геометрия непротиворечива.
Резюме: Подводя итоги, можно сказать, что Николай Иванович Лобачевский (1792–1856) создал неевклидову геометрию: заменив пятый постулат Евклида противоположным утверждением, он построил непротиворечивую геометрию, в которой сумма углов треугольника меньше \(180^\circ\); о ней он доложил 11 февраля 1826 года и напечатал работу «О началах геометрии»; ему принадлежат также общее определение функции (1834 год), признак сходимости рядов и способ приближённого решения уравнений, а как ректор Казанского университета он превратил его в один из лучших в России.
План доклада:
1. Линейная функция \(y = kx + b\) и прямая пропорциональность \(y = kx\); их графики.
2. Равномерное движение: путь \(s = vt\) и расстояние \(s = s_0 + vt\).
3. Закон Гука: сила упругости и удлинение пружины.
4. Масса и объём однородного тела.
5. Другие примеры: скорость при равноускоренном движении, давление в жидкости, закон Ома, температурные шкалы.
6. Что означают коэффициенты \(k\) и \(b\) в физической формуле.
7. Как по графику опыта найти нужную величину.
Основное содержание.
Линейная функция — \(y = kx + b\); её частный случай \(y = kx\) — прямая пропорциональность; график — прямая, \(k\) показывает изменение \(y\) при увеличении \(x\) на единицу, \(b\) равен значению \(y\) при \(x = 0\). Линейной функцией описывают равномерные процессы.
Равномерное движение: \(s = vt\) — велосипедист со скоростью 12 км/ч за \(2{,}5\) часа проедет \(12 \cdot 2{,}5 = 30\) (км); при отсчёте не от точки старта, а от города в 5 км от неё, \(s = 5 + 12t\), и через 2 часа он будет от города в \(5 + 12 \cdot 2 = 29\) (км).
Закон Гука: \(F = kx\), где \(k\) — жёсткость пружины; при жёсткости 40 Н/м и удлинении \(0{,}05\) м сила упругости \(40 \cdot 0{,}05 = 2\) (Н), а график идёт через начало координат.
Масса и объём: \(m = \rho V\), где \(\rho\) — плотность; алюминиевая деталь объёмом \(0{,}02\) м³ при плотности 2700 кг/м³ имеет массу \(2700 \cdot 0{,}02 = 54\) (кг).
Линейны и скорость при равноускоренном движении \(v = v_0 + at\), давление в жидкости \(p = p_0 + \rho g h\), закон Ома \(I = \frac{U}{R}\), перевод температурных шкал (кельвины — прибавить 273 к градусам Цельсия; \(t_F = 1{,}8t + 32\): \(1{,}8 \cdot 25 + 32 = 45 + 32 = 77\)).
Коэффициент \(k\) — быстрота изменения величины (скорость, ускорение, жёсткость, плотность), свободный член \(b\) — её начальное значение.
Для линейной зависимости хватает двух измерений: по двум точкам находят \(k\) и \(b\) и вычисляют величину при любом аргументе. И наоборот: точки опыта на одной прямой означают линейную зависимость, а чем прямая круче, тем больше по модулю \(k\).
Резюме: Таким образом, линейной зависимостью описываются равномерное движение (\(s = vt\) и \(s = s_0 + vt\)), закон Гука (\(F = kx\)), связь массы и объёма (\(m = \rho V\)), скорость при равноускоренном движении (\(v = v_0 + at\)), давление в жидкости (\(p = p_0 + \rho g h\)), закон Ома (\(I = \frac{U}{R}\)) и перевод температурных шкал (\(t_F = 1{,}8t + 32\)); коэффициент \(k\) в таких формулах — быстрота изменения величины, а свободный член \(b\) — её начальное значение.
1. Леонард Эйлер и его вклад в развитие теории функций.
2. Научные интересы и гениальные открытия Н. И. Лобачевского.
3. Физические процессы с линейной зависимостью величин.
План доклада:
1. Леонард Эйлер (1707–1783): Базель, Петербургская и Берлинская академии наук.
2. Что понимали под функцией до Эйлера: Готфрид Лейбниц и Иоганн Бернулли.
3. «Введение в анализ бесконечных» (1748 год): функция становится главным понятием математики.
4. Обозначение \(f(x)\) и другие знаки, введённые Эйлером.
5. Общее определение функции и его судьба в XIX веке.
6. Работа после потери зрения и наследие Эйлера.
Основное содержание.
Леонард Эйлер родился в 1707 году в швейцарском городе Базеле. Математике он учился у Иоганна Бернулли, а в двадцать лет уехал в Россию: с 1727 года Эйлер работал в Петербургской академии наук, с 1741 по 1766 год — в Берлинской, затем вернулся в Петербург, где и прожил до конца жизни (1783 год). Он оставил более восьмисот научных работ — больше, чем любой другой математик.
До Эйлера слово «функция» уже существовало: его ввёл в конце XVII века Готфрид Лейбниц, а первое определение — «выражение, составленное из переменной величины и постоянных» — дал в 1718 году учитель Эйлера Иоганн Бернулли. Но функция оставалась второстепенным понятием: математика того времени изучала прежде всего кривые линии.
Всё изменила книга Эйлера «Введение в анализ бесконечных», вышедшая в 1748 году. В ней функция впервые стала главным предметом изучения: Эйлер разобрал, какими функции бывают (алгебраические и трансцендентные, явные и неявные, чётные и нечётные), как их складывать, умножать, как одну функцию подставлять в другую. Именно с этой книги начинается теория функций в том виде, в каком её изучают сегодня.
Ещё в 1730-е годы Эйлер ввёл обозначение \(f(x)\), которым мы пользуемся и сейчас: записав \(f(x) = -0{,}5x + 5\), мы сразу можем написать \(f(2) = -0{,}5 \cdot 2 + 5 = -1 + 5 = 4\). Эйлеру принадлежат и другие привычные знаки: \(e\) — основание натуральных логарифмов, \(i\) — мнимая единица, \(\sum\) — знак суммы; он же закрепил в математике букву \(\pi\) и сокращённые названия тригонометрических функций.
Позже Эйлер пришёл к более широкому взгляду на функцию: если величины связаны так, что при изменении одной меняется и другая, то вторую называют функцией первой. Это описание уже очень близко к определению, которое в XIX веке окончательно сформулировали Лежён Дирихле и Николай Иванович Лобачевский и которое печатают в школьных учебниках алгебры.
Последние годы жизни Эйлер был почти слепым, но продолжал работать, диктуя свои сочинения ученикам, и создал в эти годы сотни новых работ.
Резюме: Таким образом, Леонард Эйлер (1707–1783) сделал функцию главным понятием математики: в книге «Введение в анализ бесконечных» (1748 год) он впервые изложил теорию функций и их классификацию, ввёл обозначение \(f(x)\), а также знаки \(e\), \(i\), \(\sum\) и букву \(\pi\), и подошёл к общему определению функции как зависимости одной величины от другой.
План доклада:
1. Николай Иванович Лобачевский (1792–1856): Нижний Новгород, Казань, университет.
2. Пятый постулат Евклида и двухтысячелетние попытки его доказать.
3. Доклад 11 февраля 1826 года и работа «О началах геометрии»: рождение новой геометрии.
4. Чем геометрия Лобачевского отличается от евклидовой.
5. Другие результаты: определение функции, признак сходимости рядов, приближённое решение уравнений.
6. Лобачевский — ректор Казанского университета.
7. Признание после смерти: «Коперник геометрии».
Основное содержание.
Николай Иванович Лобачевский родился в 1792 году в Нижнем Новгороде, а вся его научная жизнь прошла в Казани: там он окончил гимназию и университет, там стал профессором, а с 1827 по 1846 год был ректором Казанского университета.
Главное открытие Лобачевского связано с пятым постулатом Евклида — утверждением о параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Две тысячи лет математики пытались вывести это утверждение из остальных аксиом геометрии, и все попытки кончались неудачей.
Лобачевский поступил иначе. Он предположил противоположное — что через точку вне прямой проходит более одной прямой, не пересекающей данную, — и стал выводить следствия, ожидая, что рано или поздно появится противоречие. Противоречия не появилось: получилась новая, столь же стройная геометрия. О ней Лобачевский доложил 11 февраля 1826 года на заседании физико-математического отделения Казанского университета, а в 1829–1830 годах напечатал работу «О началах геометрии». Этот доклад считают днём рождения неевклидовой геометрии.
В геометрии Лобачевского многие привычные факты выглядят иначе: сумма углов треугольника меньше \(180^\circ\), причём у разных треугольников она разная — чем больше треугольник, тем меньше сумма его углов; подобных, но не равных треугольников не существует вовсе. Позже выяснилось, что такая геометрия описывает реальные свойства пространства, и ею пользуются в теории относительности и в астрономии.
Занимался Лобачевский не только геометрией. В 1834 году он дал общее определение функции: функцией от \(x\) называют число, которое задано для каждого значения \(x\) и вместе с \(x\) изменяется, причём закон соответствия может быть каким угодно, не обязательно формулой. Такое понимание функции — то самое, которым пользуется современная алгебра. Ему принадлежат также признак сходимости числовых рядов и способ приближённого вычисления корней уравнений.
Как ректор Лобачевский построил в Казани обсерваторию, библиотеку, физический кабинет и химическую лабораторию, спас университет во время эпидемии холеры 1830 года и большого городского пожара 1842 года.
При жизни открытие Лобачевского не признали: современникам оно казалось нелепостью. Признание пришло уже после его смерти, когда стало ясно, что новая геометрия непротиворечива. За смелость мысли Лобачевского назвали «Коперником геометрии»; его имя носят университет в Нижнем Новгороде, кратер на Луне и математическая премия.
Резюме: Подводя итоги, можно сказать, что Николай Иванович Лобачевский (1792–1856) создал неевклидову геометрию: заменив пятый постулат Евклида противоположным утверждением, он построил непротиворечивую геометрию, в которой сумма углов треугольника меньше \(180^\circ\); о ней он доложил 11 февраля 1826 года и напечатал работу «О началах геометрии»; ему принадлежат также общее определение функции (1834 год), признак сходимости рядов и способ приближённого решения уравнений, а как ректор Казанского университета он превратил его в один из лучших в России.
План доклада:
1. Линейная функция \(y = kx + b\) и прямая пропорциональность \(y = kx\); их графики.
2. Равномерное движение: путь \(s = vt\) и расстояние \(s = s_0 + vt\).
3. Закон Гука: сила упругости и удлинение пружины.
4. Масса и объём однородного тела.
5. Другие примеры: скорость при равноускоренном движении, давление в жидкости, закон Ома, температурные шкалы.
6. Что означают коэффициенты \(k\) и \(b\) в физической формуле.
7. Как по графику опыта найти нужную величину.
Основное содержание.
Функцию вида \(y = kx + b\) называют линейной, а её частный случай \(y = kx\) — прямой пропорциональностью. График линейной функции — прямая; коэффициент \(k\) показывает, на сколько изменяется \(y\) при увеличении \(x\) на единицу, а \(b\) равен значению \(y\) при \(x = 0\). Поэтому линейной функцией описывают процессы, идущие равномерно, с постоянной быстротой изменения.
Равномерное движение. Если тело движется с постоянной скоростью \(v\), то пройденный путь \(s = vt\) — прямая пропорциональность: велосипедист, едущий со скоростью 12 км/ч, за \(2{,}5\) часа проедет \(12 \cdot 2{,}5 = 30\) (км). Если же отсчёт ведут не от точки старта, зависимость становится линейной. Пусть велосипедист выехал из посёлка, удалённого от города на 5 километров, и удаляется от города с той же скоростью; тогда \(s = 5 + 12t\), и через 2 часа он будет от города на расстоянии \(5 + 12 \cdot 2 = 29\) (км).
Закон Гука. Сила упругости пружины прямо пропорциональна её удлинению: \(F = kx\), где коэффициент \(k\) называют жёсткостью пружины. Пружина жёсткостью 40 Н/м при удлинении \(0{,}05\) м создаёт силу упругости \(40 \cdot 0{,}05 = 2\) (Н). График этой зависимости проходит через начало координат: нерастянутая пружина не создаёт силы.
Масса и объём. У однородного тела \(m = \rho V\), где \(\rho\) — плотность вещества, и это снова прямая пропорциональность. Плотность алюминия равна 2700 кг/м³, поэтому алюминиевая деталь объёмом \(0{,}02\) м³ имеет массу \(2700 \cdot 0{,}02 = 54\) (кг).
Линейно зависят друг от друга и многие другие физические величины. При равноускоренном движении скорость выражается формулой \(v = v_0 + at\). Давление в жидкости на глубине \(h\) равно \(p = p_0 + \rho g h\). По закону Ома при постоянном сопротивлении сила тока прямо пропорциональна напряжению: \(I = \frac{U}{R}\). Линейны и правила перевода температурных шкал: чтобы получить температуру в кельвинах, к температуре в градусах Цельсия прибавляют 273, а чтобы перейти к градусам Фаренгейта, пользуются формулой \(t_F = 1{,}8t + 32\); например, 25 градусам Цельсия отвечает \(1{,}8 \cdot 25 + 32 = 45 + 32 = 77\) градусов Фаренгейта.
В каждой такой формуле коэффициент \(k\) — это физическая величина, показывающая быстроту изменения (скорость, ускорение, жёсткость, плотность), а свободный член \(b\) — начальное значение (расстояние в момент \(t = 0\), атмосферное давление на поверхности воды, температура таяния льда по шкале Фаренгейта).
Знание того, что зависимость линейная, сильно упрощает опыт: достаточно двух измерений, чтобы по двум точкам найти \(k\) и \(b\), а затем вычислить величину для любого значения аргумента. И наоборот, если точки опыта легли на одну прямую, зависимость линейная; чем круче эта прямая, тем больше по модулю коэффициент \(k\), то есть тем быстрее меняется величина.
Резюме: Таким образом, линейной зависимостью описываются равномерное движение (\(s = vt\) и \(s = s_0 + vt\)), закон Гука (\(F = kx\)), связь массы и объёма (\(m = \rho V\)), скорость при равноускоренном движении (\(v = v_0 + at\)), давление в жидкости (\(p = p_0 + \rho g h\)), закон Ома (\(I = \frac{U}{R}\)) и перевод температурных шкал (\(t_F = 1{,}8t + 32\)); коэффициент \(k\) в таких формулах — быстрота изменения величины, а свободный член \(b\) — её начальное значение.
