Страница 208 номер 1159, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Выберите, на каких промежутках (рис. 206) формула кусочно-линейной функции имеет вид \(y = x + 2\):
1) \(-2 \leqslant x \leqslant 0\); 2) \(-5 \leqslant x \leqslant -1\); 3) \(-4 \leqslant x \leqslant 1\); 4) \(2 \leqslant x \leqslant 6\).
Клетка по обеим осям равна единице. Звенья ломаной: горизонталь \(y = -2\) до точки \((-4; -2)\), подъём до \((1; 3)\), спад до \((2; -1)\), подъём до \((6; 4)\), спад вправо.
Функция \(y = x + 2\) возрастает (\(k = 1 > 0\)), поэтому подходят только возрастающие звенья.
Звено \(A(-4; -2)\), \(B(1; 3)\):
\[k = \frac{3 - (-2)}{1 - (-4)} = \frac{5}{5} = 1.\]
\(3 = 1 \cdot 1 + b\), откуда \(b = 2\) — на промежутке \(-4 \leqslant x \leqslant 1\) формула \(y = x + 2\).
Проверка: \(-2 + 2 = 0\) — звено пересекает ось \(x\) в точке \((-2; 0)\).
\(0 + 2 = 2\) — точка \((0; 2)\) лежит на звене.
Звено \(C(2; -1)\), \(D(6; 4)\): \(k = \frac{4 - (-1)}{6 - 2} = \frac{5}{4} = 1{,}25\) — формулой \(y = x + 2\) не задаётся.
1) \(-2 \leqslant x \leqslant 0\) лежит внутри промежутка \(-4 \leqslant x \leqslant 1\). Подходит.
2) \(-5 \leqslant x \leqslant -1\): при \(x = -5\) точка на горизонтальном звене, ордината равна \(-2\), а формула даёт \(-5 + 2 = -3\). Не подходит.
3) \(-4 \leqslant x \leqslant 1\) — в точности то звено, на котором \(y = x + 2\). Подходит.
4) \(2 \leqslant x \leqslant 6\): при \(x = 2\) ордината равна \(-1\), а формула даёт \(2 + 2 = 4\). Не подходит.
Ответ: формулу \(y = x + 2\) функция имеет на промежутках 1) \(-2 \leqslant x \leqslant 0\) и 3) \(-4 \leqslant x \leqslant 1\).
Выберите, на каких промежутках (рис. 206) формула кусочно-линейной функции имеет вид \(y = x + 2\):
1) \(-2 \leqslant x \leqslant 0\); 2) \(-5 \leqslant x \leqslant -1\); 3) \(-4 \leqslant x \leqslant 1\); 4) \(2 \leqslant x \leqslant 6\).
Клетка по обеим осям равна единице.
Ломаная составлена из пяти звеньев: горизонтального на уровне \(y = -2\), которое заканчивается в точке \((-4; -2)\); возрастающего от \((-4; -2)\) до \((1; 3)\); круто убывающего от \((1; 3)\) до \((2; -1)\); возрастающего от \((2; -1)\) до \((6; 4)\) и убывающего от \((6; 4)\) вправо.
Функция \(y = x + 2\) возрастает (\(k = 1 > 0\)), поэтому искать её надо среди двух возрастающих звеньев.
Для звена с концами \(A(-4; -2)\) и \(B(1; 3)\) по основному свойству линейной функции
\[k = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{3 - (-2)}{1 - (-4)} = \frac{5}{5} = 1.\]
Подставим координаты точки \(B(1; 3)\) в формулу \(y = kx + b\): \(3 = 1 \cdot 1 + b\), откуда \(b = 2\). Значит, на промежутке \(-4 \leqslant x \leqslant 1\) функция задаётся формулой \(y = x + 2\).
Проверка: при \(x = -2\) формула даёт \(y = -2 + 2 = 0\), и это звено действительно пересекает ось \(x\) в точке \((-2; 0)\); при \(x = 0\) формула даёт \(y = 0 + 2 = 2\), и точка \((0; 2)\) тоже лежит на звене.
Для второго возрастающего звена с концами \(C(2; -1)\) и \(D(6; 4)\) угловой коэффициент другой: \(k = \frac{4 - (-1)}{6 - 2} = \frac{5}{4} = 1{,}25\), значит, формулой \(y = x + 2\) оно не задаётся.
1) \(-2 \leqslant x \leqslant 0\) — этот промежуток целиком лежит внутри промежутка \(-4 \leqslant x \leqslant 1\), значит, на нём функция задаётся формулой \(y = x + 2\). Подходит.
2) \(-5 \leqslant x \leqslant -1\) — при \(x = -5\) точка графика лежит на горизонтальном звене, её ордината равна \(-2\), а формула даёт \(-5 + 2 = -3\). Не подходит.
3) \(-4 \leqslant x \leqslant 1\) — это в точности то звено, на котором \(y = x + 2\). Подходит.
4) \(2 \leqslant x \leqslant 6\) — при \(x = 2\) ордината точки графика равна \(-1\), а формула даёт \(2 + 2 = 4\). Не подходит.
Ответ: формулу \(y = x + 2\) функция имеет на промежутках 1) \(-2 \leqslant x \leqslant 0\) и 3) \(-4 \leqslant x \leqslant 1\).
