Страница 198 номер 1135, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Выполните умножение: а) \((a^6 + 2a^4 - 1) \cdot (a^6 - 2a^4 - 1)\); б) \((5y^2 - 5x^2 - 2xy) \cdot (y^2 - x^2 + xy - 1)\).
а) \[\begin{aligned} &(a^6 + 2a^4 - 1) \cdot (a^6 - 2a^4 - 1) = {} \\ &= \left((a^6 - 1) + 2a^4\right) \cdot \left((a^6 - 1) - 2a^4\right) = (a^6 - 1)^2 - (2a^4)^2 = {} \\ &= a^{12} - 2a^6 + 1 - 4a^8 = a^{12} - 4a^8 - 2a^6 + 1. \end{aligned}\]
б) \[\begin{aligned} &(5y^2 - 5x^2 - 2xy) \cdot (y^2 - x^2 + xy - 1) = {} \\ &= 5y^2 \cdot (y^2 - x^2 + xy - 1) - 5x^2 \cdot (y^2 - x^2 + xy - 1) - 2xy \cdot (y^2 - x^2 + xy - 1) = {} \\ &= 5y^4 - 5x^2y^2 + 5xy^3 - 5y^2 - 5x^2y^2 + 5x^4 - 5x^3y + 5x^2 - 2xy^3 + 2x^3y - 2x^2y^2 + 2xy = {} \\ &= 5x^4 - 3x^3y - 12x^2y^2 + 3xy^3 + 5y^4 + 5x^2 + 2xy - 5y^2. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(a^{12} - 4a^8 - 2a^6 + 1\); б) \(5x^4 - 3x^3y - 12x^2y^2 + 3xy^3 + 5y^4 + 5x^2 + 2xy - 5y^2\).
Выполните умножение: а) \((a^6 + 2a^4 - 1) \cdot (a^6 - 2a^4 - 1)\); б) \((5y^2 - 5x^2 - 2xy) \cdot (y^2 - x^2 + xy - 1)\).
а) Первый множитель равен \((a^6 - 1) + 2a^4\), второй равен \((a^6 - 1) - 2a^4\). Значит, перемножаются сумма и разность выражений \(a^6 - 1\) и \(2a^4\), и применима формула разности квадратов:
\[\begin{aligned} &(a^6 + 2a^4 - 1) \cdot (a^6 - 2a^4 - 1) = {} \\ &= \left((a^6 - 1) + 2a^4\right) \cdot \left((a^6 - 1) - 2a^4\right) = (a^6 - 1)^2 - (2a^4)^2 = {} \\ &= a^{12} - 2a^6 + 1 - 4a^8 = a^{12} - 4a^8 - 2a^6 + 1. \end{aligned}\]
б) Умножим каждый член многочлена \(5y^2 - 5x^2 - 2xy\) на многочлен \(y^2 - x^2 + xy - 1\):
\[\begin{aligned} &(5y^2 - 5x^2 - 2xy) \cdot (y^2 - x^2 + xy - 1) = {} \\ &= 5y^2 \cdot (y^2 - x^2 + xy - 1) - 5x^2 \cdot (y^2 - x^2 + xy - 1) - 2xy \cdot (y^2 - x^2 + xy - 1) = {} \\ &= 5y^4 - 5x^2y^2 + 5xy^3 - 5y^2 - 5x^2y^2 + 5x^4 - 5x^3y + 5x^2 - 2xy^3 + 2x^3y - 2x^2y^2 + 2xy = {} \\ &= 5x^4 - 3x^3y - 12x^2y^2 + 3xy^3 + 5y^4 + 5x^2 + 2xy - 5y^2. \end{aligned}\]
Подобные слагаемые здесь \(-5x^2y^2\), \(-5x^2y^2\) и \(-2x^2y^2\) (их сумма равна \(-12x^2y^2\)), \(-5x^3y\) и \(2x^3y\) (их сумма равна \(-3x^3y\)), \(5xy^3\) и \(-2xy^3\) (их сумма равна \(3xy^3\)).
Ответ: а) \(a^{12} - 4a^8 - 2a^6 + 1\); б) \(5x^4 - 3x^3y - 12x^2y^2 + 3xy^3 + 5y^4 + 5x^2 + 2xy - 5y^2\).
