Страница 192 номер 1087, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Даны точки \(A(1; 5)\), \(B(4; 2)\) и \(C(-1; 7)\). Задайте формулой линейную функцию, график которой проходит через точки \(A\) и \(B\). Определите, лежат ли точки \(A\), \(B\) и \(C\) на одной прямой.
\[k = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{2 - 5}{4 - 1} = \frac{-3}{3} = -1.\]
\[5 = -1 \cdot 1 + b; \qquad b = 6.\]
Прямая через точки \(A\) и \(B\) — график функции \(y = -x + 6\), координаты точки \(B\) ему удовлетворяют: \(-4 + 6 = 2\).
Подставим координаты точки \(C(-1; 7)\):
\[7 = -(-1) + 6; \qquad 7 = 7.\]
Равенство верное, значит, точка \(C\) лежит на прямой \(AB\), и все три точки лежат на одной прямой.
Ответ: \(y = -x + 6\); точки \(A\), \(B\) и \(C\) лежат на одной прямой.
Даны точки \(A(1; 5)\), \(B(4; 2)\) и \(C(-1; 7)\). Задайте формулой линейную функцию, график которой проходит через точки \(A\) и \(B\). Определите, лежат ли точки \(A\), \(B\) и \(C\) на одной прямой.
Восстановим формулу \(y = kx + b\), задающую линейную функцию, график которой проходит через точки \(A\) и \(B\). По основному свойству линейной функции
\[k = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{2 - 5}{4 - 1} = \frac{-3}{3} = -1.\]
Подставим в формулу \(y = -x + b\) координаты точки \(A\) и решим получившееся уравнение:
\[5 = -1 \cdot 1 + b; \qquad b = 6.\]
Прямая, проходящая через точки \(A\) и \(B\), — это график функции \(y = -x + 6\). Координаты точки \(B\) ему тоже удовлетворяют: \(-4 + 6 = 2\).
Подставим в формулу координаты точки \(C(-1; 7)\):
\[7 = -(-1) + 6; \qquad 7 = 7.\]
Равенство верное, следовательно, точка \(C\) лежит на прямой \(AB\), а значит, все три точки лежат на одной прямой.
Ответ: \(y = -x + 6\); точки \(A\), \(B\) и \(C\) лежат на одной прямой.
