Страница 191 номер 1080, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Даны точки \(A(1; -2)\), \(B(-2; -8)\) и \(C(2; 2)\). Задайте формулой линейную функцию, график которой проходит через точки \(A\) и \(B\). Определите, лежат ли точки \(A\), \(B\) и \(C\) на одной прямой.
\[k = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-8 - (-2)}{-2 - 1} = \frac{-6}{-3} = 2.\]
\[-2 = 2 \cdot 1 + b; \qquad b = -4.\]
Прямая через точки \(A\) и \(B\) — график функции \(y = 2x - 4\), координаты точки \(B\) ему удовлетворяют: \(2 \cdot (-2) - 4 = -8\).
При \(x = 2\) значение функции равно \(2 \cdot 2 - 4 = 0\), а ордината точки \(C\) равна 2. Числа 0 и 2 различны, значит, точка \(C\) на прямой \(AB\) не лежит.
Ответ: \(y = 2x - 4\); точки \(A\), \(B\) и \(C\) не лежат на одной прямой.
Даны точки \(A(1; -2)\), \(B(-2; -8)\) и \(C(2; 2)\). Задайте формулой линейную функцию, график которой проходит через точки \(A\) и \(B\). Определите, лежат ли точки \(A\), \(B\) и \(C\) на одной прямой.
Восстановим формулу \(y = kx + b\), задающую линейную функцию, график которой проходит через точки \(A\) и \(B\). По основному свойству линейной функции
\[k = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-8 - (-2)}{-2 - 1} = \frac{-6}{-3} = 2.\]
Подставим в формулу \(y = 2x + b\) координаты точки \(A\) и решим получившееся уравнение:
\[-2 = 2 \cdot 1 + b; \qquad b = -4.\]
Прямая, проходящая через точки \(A\) и \(B\), — это график функции \(y = 2x - 4\). Координаты точки \(B\) ему тоже удовлетворяют: \(2 \cdot (-2) - 4 = -8\).
Если бы точка \(C\) лежала на одной прямой с точками \(A\) и \(B\), её координаты обращали бы формулу \(y = 2x - 4\) в верное равенство. При \(x = 2\) значение функции равно \(2 \cdot 2 - 4 = 0\), а ордината точки \(C\) равна 2. Числа 0 и 2 различны, значит, точка \(C\) на прямой \(AB\) не лежит.
Ответ: \(y = 2x - 4\); точки \(A\), \(B\) и \(C\) не лежат на одной прямой.
