Страница 170 номер 1007, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Используя алгоритм Евклида, найдите наибольший общий делитель чисел: а) 91 и 203; б) 8041 и 18 513.
а) \[\begin{aligned} &203 = 2 \cdot 91 + 21; \\ &91 = 4 \cdot 21 + 7; \\ &21 = 3 \cdot 7. \end{aligned}\]
Последний ненулевой остаток равен 7, значит, \(\mathrm{НОД}(91; 203) = 7\). Оба числа условия на 7 делятся: \(91 = 7 \cdot 13\) и \(203 = 7 \cdot 29\).
б) \[\begin{aligned} &18\,513 = 2 \cdot 8041 + 2431; \\ &8041 = 3 \cdot 2431 + 748; \\ &2431 = 3 \cdot 748 + 187; \\ &748 = 4 \cdot 187. \end{aligned}\]
Последний ненулевой остаток равен 187, значит, \(\mathrm{НОД}(8041; 18\,513) = 187\). Оба числа условия на 187 делятся: \(8041 = 187 \cdot 43\) и \(18\,513 = 187 \cdot 99\).
Ответ: а) 7; б) 187.
Используя алгоритм Евклида, найдите наибольший общий делитель чисел: а) 91 и 203; б) 8041 и 18 513.
а) Разделим с остатком большее число на меньшее:
\[203 = 2 \cdot 91 + 21.\]
Следовательно, наибольший общий делитель чисел 91 и 203 равен наибольшему общему делителю чисел 91 и 21. Продолжим деление с остатком, пока не произойдёт деление нацело:
\[\begin{aligned} &91 = 4 \cdot 21 + 7; \\ &21 = 3 \cdot 7. \end{aligned}\]
Последний ненулевой остаток равен 7, значит, \(\mathrm{НОД}(91; 203) = 7\). Оба числа условия на 7 делятся: \(91 = 7 \cdot 13\) и \(203 = 7 \cdot 29\).
б) Так же разделим с остатком число \(18\,513\) на 8041 и продолжим до деления нацело:
\[\begin{aligned} &18\,513 = 2 \cdot 8041 + 2431; \\ &8041 = 3 \cdot 2431 + 748; \\ &2431 = 3 \cdot 748 + 187; \\ &748 = 4 \cdot 187. \end{aligned}\]
Последний ненулевой остаток равен 187, значит, \(\mathrm{НОД}(8041; 18\,513) = 187\). Оба числа условия на 187 делятся: \(8041 = 187 \cdot 43\) и \(18\,513 = 187 \cdot 99\).
Ответ: а) 7; б) 187.
