Страница 170 номер 1001, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
В трёхзначном числе переставили первую цифру в конец. Число осталось трёхзначным, но уменьшилось на 540. Чему может быть равно исходное число? Найдите все варианты.
Исходное число \(\overline{abc} = 100a + 10b + c\), после перестановки — \(\overline{bca} = 100b + 10c + a\). Оба числа трёхзначные, поэтому \(a \neq 0\) и \(b \neq 0\).
\[100a + 10b + c - (100b + 10c + a) = 540.\]
\[\begin{aligned} &100a + 10b + c - 100b - 10c - a = 540; \\ &99a - 90b - 9c = 540; \\ &11a - 10b - c = 60; \\ &11a = 60 + 10b + c. \end{aligned}\]
Так как \(b \neq 0\), число \(10b + c\) двузначное, поэтому \(10b + c \geqslant 10\) и \(11a \geqslant 70\). При \(a \leqslant 6\) было бы \(11a \leqslant 66\), а это меньше 70, поэтому \(a \geqslant 7\).
При \(a = 7\): \(10b + c = 11 \cdot 7 - 60 = 17\), значит, \(b = 1\), \(c = 7\), число 717.
При \(a = 8\): \(10b + c = 11 \cdot 8 - 60 = 28\), значит, \(b = 2\), \(c = 8\), число 828.
При \(a = 9\): \(10b + c = 11 \cdot 9 - 60 = 39\), значит, \(b = 3\), \(c = 9\), число 939.
Проверка: \(717 - 177 = 540\); \(828 - 288 = 540\); \(939 - 399 = 540\). Числа 177, 288 и 399 трёхзначные, поэтому подходят все три варианта.
Ответ: 717; 828; 939.
В трёхзначном числе переставили первую цифру в конец. Число осталось трёхзначным, но уменьшилось на 540. Чему может быть равно исходное число? Найдите все варианты.
Запишем исходное число как \(\overline{abc}\), то есть \(100a + 10b + c\), где \(a\), \(b\) и \(c\) — цифры. После перестановки первой цифры в конец получится число \(\overline{bca}\), равное \(100b + 10c + a\).
В десятичной записи числа на первом месте не может стоять 0, поэтому \(a \neq 0\); новое число тоже трёхзначное, поэтому и \(b \neq 0\).
По условию новое число меньше исходного на 540:
\[100a + 10b + c - (100b + 10c + a) = 540.\]
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
\[\begin{aligned} &100a + 10b + c - 100b - 10c - a = 540; \\ &99a - 90b - 9c = 540. \end{aligned}\]
Разделим обе части на 9 и выразим \(11a\):
\[11a - 10b - c = 60; \qquad 11a = 60 + 10b + c.\]
Так как \(b \neq 0\), выражение \(10b + c\) — это двузначное число \(\overline{bc}\), поэтому \(10b + c \geqslant 10\) и \(11a \geqslant 70\). При \(a \leqslant 6\) было бы \(11a \leqslant 66\), а это меньше 70, поэтому \(a \geqslant 7\). Остаются три случая: \(a = 7\), \(a = 8\) и \(a = 9\).
При \(a = 7\): \(10b + c = 11 \cdot 7 - 60 = 17\), значит, \(b = 1\) и \(c = 7\), а исходное число равно 717.
При \(a = 8\): \(10b + c = 11 \cdot 8 - 60 = 28\), значит, \(b = 2\) и \(c = 8\), а исходное число равно 828.
При \(a = 9\): \(10b + c = 11 \cdot 9 - 60 = 39\), значит, \(b = 3\) и \(c = 9\), а исходное число равно 939.
Проверка: \(717 - 177 = 540\); \(828 - 288 = 540\); \(939 - 399 = 540\). Числа 177, 288 и 399 трёхзначные, поэтому подходят все три варианта.
Ответ: 717; 828; 939.
