Контрольные вопросы и задания на странице 96, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Степенью числа \(a\) с натуральным показателем \(n\), бо́льшим 1, называется выражение \(a^n\), равное произведению \(n\) множителей, каждый из которых равен \(a\):
\[a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ множителей}}.\]

Число \(a\) называется основанием степени, а число \(n\) — показателем степени. Для \(n = 1\) степенью \(a^1\) считается само число \(a\).

Например, в степени \(3^4\) основание равно 3, показатель равен 4, и по определению \(3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81\).

Ответ: степень \(a^n\) — это произведение \(n\) множителей, каждый из которых равен \(a\); например, \(3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81\).

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся прежним, а показатели степеней складываются: для любого числа \(a\) и любых натуральных чисел \(m\) и \(n\) верно равенство
\[a^m \cdot a^n = a^{m+n}.\]

Правило верно и тогда, когда перемножаемых степеней больше двух: \(a^m \cdot a^n \cdot a^k = a^{m+n+k}\).

Например, \(2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128\); прямой подсчёт даёт то же самое: \(8 \cdot 16 = 128\).

Ответ: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\); например, \(2^3 \cdot 2^4 = 2^7 = 128\).

При делении степеней с одинаковыми ненулевыми основаниями основание остаётся прежним, а показатель равен разности показателя степени делимого и показателя степени делителя: для любого числа \(a \neq 0\) и любых натуральных чисел \(m\) и \(n\) таких, что \(m \geqslant n\), верно равенство
\[a^m : a^n = a^{m-n}.\]

При \(m = n\) отсюда получается степень с нулевым показателем: \(a^0 = 1\) при \(a \neq 0\); выражение \(0^0\) смысла не имеет.

Например, \(5^6 : 5^4 = 5^{6-4} = 5^2 = 25\); прямой подсчёт даёт то же самое: \(15\,625 : 625 = 25\).

Ответ: \(a^m : a^n = a^{m-n}\) при \(a \neq 0\) и \(m \geqslant n\); например, \(5^6 : 5^4 = 5^2 = 25\).

Для того чтобы возвести произведение в степень, достаточно возвести в эту степень каждый из множителей и перемножить результаты: для любых чисел \(a\) и \(b\) и любого натурального числа \(m\) верно равенство
\[(ab)^m = a^m \cdot b^m.\]

Например, \((2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000\); прямой подсчёт даёт то же самое: \(10^3 = 1000\).

При возведении степени в степень основание остаётся прежним, а показатели степеней перемножаются: для любого числа \(a\) и любых натуральных чисел \(m\) и \(n\) верно равенство
\[(a^m)^n = a^{mn}.\]

Например, \((3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6 = 729\); прямой подсчёт даёт то же самое: \(9^3 = 729\).

Ответ: \((ab)^m = a^m b^m\) и \((a^m)^n = a^{mn}\); например, \((2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 1000\) и \((3^2)^3 = 3^6 = 729\).

Одночлен, записанный в стандартном виде, содержит только один числовой множитель — он стоит на первом месте и называется коэффициентом — и степени переменных, причём каждая переменная встречается в качестве основания только один раз.

Примеры одночленов стандартного вида: \(-4x^3y\), \(7m^2n^3k\), \(\frac{5}{6}a^6bc\).

У одночлена \(-4x^3y\) коэффициент равен \(-4\), а буквенная часть — это \(x^3y\).

Одночлен, не приведённый к стандартному виду, приводят к нему переместительными и сочетательными законами умножения: \(3x \cdot 5x^2y = 3 \cdot 5 \cdot x \cdot x^2 \cdot y = 15x^3y\).

Ответ: например, \(-4x^3y\) — одночлен стандартного вида с коэффициентом \(-4\) и буквенной частью \(x^3y\).

Степенью одночлена называется сумма показателей степеней входящих в него переменных.

Например, степень одночлена \(8a^2bc^3\) равна \(2 + 1 + 3 = 6\), а степень одночлена \(x^{10}\) равна 10. Степень одночлена, являющегося числом, не равным нулю, равна 0, а степень нулевого одночлена, то есть числа 0, не определена.

Одночлен третьей степени — например, \(5x^2y\): сумма показателей его переменных равна \(2 + 1 = 3\). Третью степень имеют также одночлены \(-7a^3\) и \(abc\).

Ответ: степень одночлена — это сумма показателей степеней входящих в него переменных; одночлен третьей степени — например, \(5x^2y\).

Стандартный вид числа — это его запись в виде \(a \cdot 10^n\), где \(1 \leqslant a < 10\), а \(n\) — целое число. Множитель \(a\) называется мантиссой, а показатель \(n\) — порядком.

Например, \(3\,600\,000 = 3{,}6 \cdot 10^6\): мантисса равна \(3{,}6\), порядок равен 6. Мантисса \(3{,}6\) лежит в промежутке \([1; 10)\), поэтому число записано в стандартном виде.

А запись \(36 \cdot 10^5\) стандартным видом того же числа не является: её первый множитель равен 36, а он должен быть меньше 10.

Ответ: например, \(3{,}6 \cdot 10^6\) — стандартный вид числа \(3\,600\,000\); мантисса равна \(3{,}6\), порядок равен 6.