Контрольные вопросы и задания на страницах 47-48, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Числовой прямой называется прямая, на которой:

1) отмечено начало отсчёта — точка, соответствующая числу 0;

2) стрелкой задано направление увеличения чисел (это направление называют положительным, обычно его выбирают слева направо);

3) выбран единичный отрезок — отрезок, длина которого считается равной 1.

Число, соответствующее точке числовой прямой, называется координатой этой точки: точки правее начала отсчёта имеют положительные координаты, левее — отрицательные, а точка с большей координатой всегда лежит правее.

Ответ: числовая прямая — это прямая, на которой отмечено начало отсчёта, задано стрелкой положительное направление и выбран единичный отрезок.

Эта запись читается так: «интервал от 3 до 18».

Круглые скобки означают, что концы промежутка ему не принадлежат.

Значит, интервалу \((3; 18)\) принадлежат все числа \(x\), для которых \(3 < x < 18\), а сами числа 3 и 18 ему не принадлежат. На числовой прямой концы такого промежутка изображают пустыми (незакрашенными) кружочками.

Ответ: это числовой интервал от 3 до 18, то есть все числа \(x\), для которых \(3 < x < 18\); концы 3 и 18 промежутку не принадлежат.

Проведём на плоскости через одну точку две перпендикулярные прямые — горизонтальную и вертикальную. На каждой из них зададим стрелкой положительное направление и выберем единичный отрезок, то есть сделаем каждую прямую числовой прямой. Точка их пересечения называется началом координат и обозначается буквой \(O\).

Сами прямые называются осями координат: горизонтальная — осью абсцисс (осью \(x\)), вертикальная — осью ординат (осью \(y\)). Если оси перпендикулярны, а единичные отрезки на них одинаковы, то такая система координат называется декартовой прямоугольной.

Плоскость, на которой задана система координат, и называется координатной плоскостью. Каждая точка такой плоскости задаётся двумя числами — её координатами.

Ответ: координатная плоскость — это плоскость, на которой задана система координат (две перпендикулярные оси \(x\) и \(y\) с общим началом отсчёта \(O\) и единичными отрезками).

Эта запись читается так: «точка \(A\) с координатами минус семь и сто восемьдесят семь».

Первое число в скобках — абсцисса точки (координата по оси \(x\)), второе — ордината точки (координата по оси \(y\)).

Значит, точка \(A\) лежит на координатной плоскости так: её абсцисса равна \(-7\) (точка на 7 единичных отрезков левее оси ординат), а ордината равна 187 (точка на 187 единичных отрезков выше оси абсцисс).

Так как абсцисса отрицательна, а ордината положительна, точка \(A\) лежит во II четверти.

Ответ: это точка \(A\) координатной плоскости с абсциссой \(-7\) и ординатой 187.

Точка лежит на координатной оси тогда и только тогда, когда хотя бы одна из её координат равна нулю:

если абсцисса равна нулю, то есть точка имеет вид \((0; b)\), то она лежит на оси ординат (например, \(A(0; 2)\));

если ордината равна нулю, то есть точка имеет вид \((a; 0)\), то она лежит на оси абсцисс (например, \(D(2; 0)\));

если обе координаты равны нулю, то это начало координат \(O(0; 0)\) — оно лежит на обеих осях.

Если же обе координаты отличны от нуля, то точка не лежит ни на одной оси: она лежит в одной из четырёх координатных четвертей.

Ответ: точка лежит на координатной оси, если хотя бы одна её координата равна нулю: при нулевой абсциссе — на оси ординат, при нулевой ординате — на оси абсцисс.

На числовой прямой координата середины отрезка равна среднему арифметическому (полусумме) координат его концов: если концы имеют координаты \(a\) и \(b\), то середина имеет координату

\[\frac{a + b}{2}.\]

На координатной плоскости каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов: если \(M(x_M; y_M)\) и \(N(x_N; y_N)\) — концы отрезка, то его середина имеет координаты

\[\left(\frac{x_M + x_N}{2}; \frac{y_M + y_N}{2}\right).\]

Например, середина отрезка с концами \(M(2; -5)\) и \(N(3; 4)\) — это точка \(K(2{,}5; -0{,}5)\).

Ответ: на числовой прямой — \(\frac{a + b}{2}\); на координатной плоскости — \(\left(\frac{x_M + x_N}{2}; \frac{y_M + y_N}{2}\right)\).

Функцией называется зависимость одной величины от другой, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной.

Независимую переменную называют аргументом функции, а зависимую переменную — функцией. Запись \(y = f(x)\) означает, что \(x\) — аргумент, \(y\) — функция от \(x\).

Ответ: функция — это зависимость одной величины от другой, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной.

Функцию можно задать формулой, таблицей и графиком.

Формулой. Площадь квадрата зависит от длины его стороны: \(S(a) = a^2\). Чтобы найти значение функции, надо подставить в формулу значение аргумента: \(S(3) = 3^2 = 9\).

Таблицей. Отметка \(k\) за контрольную работу из 7 заданий зависит от числа \(n\) верно выполненных заданий:

\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline k & 2 & 2 & 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 5 \end{array}\]

По таблице сразу видно, что \(k(3) = 2\), \(k(4) = 3\), \(k(6) = 5\).

Графиком. Зависимость температуры воздуха \(T\) от времени суток \(t\) задают графиком: по нему для каждого момента времени находят соответствующую температуру.

Ответ: функцию задают формулой (например, \(S(a) = a^2\)), таблицей (например, таблица отметки \(k\) по числу решённых задач \(n\)) и графиком (например, график температуры в зависимости от времени).

Все значения, которые может принимать аргумент, образуют область определения функции.

Пример 1. Для функции \(S(a) = a^2\), где \(a\) — длина стороны квадрата, областью определения являются все числа \(a > 0\): сторона квадрата не может быть отрицательной или равной нулю.

Пример 2. Для функции \(k(n)\) — отметки за контрольную работу из 7 заданий — область определения состоит из чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ведь других значений число решённых задач принимать не может.

Пример 3. Если функция задана графиком, то её область определения — все абсциссы точек графика. Например, если график идёт от точки с абсциссой \(-7\) до точки с абсциссой 7 и его концы отмечены закрашенными кружочками, то область определения — отрезок \([-7; 7]\).

Ответ: область определения функции — это все значения, которые может принимать аргумент.

Все значения, которые принимает функция, образуют множество значений функции.

Пример 1. Для функции \(k(n)\) из таблицы отметок множество значений состоит из чисел 2, 3, 4 и 5.

Пример 2. Если график функции — непрерывная линия, то множеством значений будет отрезок от наименьшего значения функции до наибольшего. Так, для функции, наименьшее значение которой равно \(-6\), а наибольшее равно 4, множество значений — отрезок \([-6; 4]\).

Ответ: множество значений функции — это все значения, которые принимает сама функция (то есть все ординаты точек её графика).

Точка \(a\) называется точкой максимума функции \(f(x)\), если существует интервал, содержащий точку \(a\), наибольшее значение на котором функция \(f(x)\) принимает в точке \(a\). Значение функции в точке максимума называется максимумом функции.

Точка \(a\) называется точкой минимума функции \(f(x)\), если существует интервал, содержащий точку \(a\), наименьшее значение на котором функция \(f(x)\) принимает в точке \(a\). Значение функции в точке минимума называется минимумом функции.

Проще говоря, в точке максимума значение функции больше, чем в ближайших точках (график здесь образует «вершину»), а в точке минимума — меньше, чем в ближайших точках (график образует «впадину»). Общее название для точек максимума и минимума — точки экстремума.

Пример. У функции, график которой разобран в примере 7 параграфа, точки максимума — \(x = -3\) и \(x = 1\), а точки минимума — \(x = -5\), \(x = 0\) и \(x = 2\); максимум функции в точке \(x = -3\) равен 4, а минимум в точке \(x = -5\) равен \(-4\).

Ответ: точка максимума — значение аргумента, в котором функция принимает наибольшее значение по сравнению с ближайшими точками; точка минимума — значение аргумента, в котором функция принимает наименьшее значение по сравнению с ближайшими точками.

Функция возрастает на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции; такой промежуток называется промежутком возрастания. На нём график при движении слева направо идёт вверх.

Функция убывает на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции; такой промежуток называется промежутком убывания. На нём график при движении слева направо идёт вниз.

Общее название для промежутков возрастания и убывания — промежутки монотонности.

Пример. У функции, график которой разобран в примере 6 параграфа, промежуток убывания — отрезок \([-7; -1]\), а промежуток возрастания — отрезок \([-1; 7]\).

Ответ: промежуток возрастания — промежуток, на котором большему значению аргумента соответствует большее значение функции; промежуток убывания — промежуток, на котором большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.