Темы исследовательских работ на странице 236, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

План доклада:

1. Математика Древней Индии: Ариабхата, Брахмагупта, Бхаскара II и их книги.
2. Индийская нумерация, ноль и отрицательные числа: «имущество» и «долг».
3. Как индийцы обозначали неизвестные: «яват-тават» и названия цветов.
4. Задачи в стихах и правила-рецепты вместо доказательств.
5. Приёмы решения: перенос слагаемых, приведение подобных, исключение неизвестного.
6. Метод «куттака» для уравнений, которые решают в целых числах.
7. Старинная индийская задача и её решение системой.
8. Что из индийской алгебры дошло до наших дней.

Основное содержание.

Индия дала математике трёх великих учёных, чьи книги известны и сегодня. Ариабхата (476–550) написал в 499 году стихотворный трактат «Ариабхатия». Брахмагупта (598–670) в 628 году составил «Брахма-спхута-сиддханту», где впервые в истории были записаны правила действий с нулём и с отрицательными числами. Бхаскара II (1114–1185) оставил книги «Лилавати» об арифметике и «Биджаганита» об алгебре; по ним в Индии учились несколько столетий.

Индийцам мы обязаны десятичной позиционной нумерацией с нулём — теми самыми цифрами, которые в Европе назвали арабскими, потому что пришли они через арабские переводы. Индийские математики свободно пользовались и отрицательными числами: положительное число они понимали как имущество, отрицательное — как долг. Именно поэтому у них не было препятствия к тому, чтобы в ходе решения вычитать одно уравнение из другого и получать отрицательные коэффициенты.

Букв для неизвестных ещё не было. Первое неизвестное называли «яват-тават» — «сколько-столько» — и обозначали первым слогом этого слова, а остальные неизвестные записывали названиями цветов: чёрный, синий, жёлтый, красный. Слово «варна» означало у индийцев и «цвет», и «неизвестное». Такая запись позволяла работать сразу с несколькими неизвестными, то есть решать то, что мы называем системой уравнений: у каждого неизвестного был свой цвет, а рядом с ним стоял коэффициент.

Индийские книги писались стихами, чтобы их легче было запоминать: сначала шла задача в стихах, потом правило её решения — тоже в стихах. Доказательств правил индийцы, как правило, не приводили: считалось, что правильность видна из примера. Правила эти нам знакомы: слагаемое переносят из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, подобные слагаемые складывают, обе части уравнения умножают на одно и то же число. Чтобы решить задачу с двумя неизвестными, одно из них исключали: уравнения уравнивали по коэффициентам и вычитали одно из другого — это в точности наш способ сложения.

Отдельная заслуга Ариабхаты — метод «куттака» («измельчитель») для уравнений вида \(ax + by = c\), которые нужно решить в целых числах. Такие уравнения возникали в астрономических расчётах, и решений у них бесконечно много, а годятся только целые; способ Ариабхаты, основанный на последовательном делении с остатком, позволял найти их все.

Вот задача в индийском духе. Два купца считают деньги. Первый говорит второму: «Дай мне 10 монет — и у меня станет вдвое больше, чем останется у тебя». Второй отвечает: «Нет, лучше ты дай мне 10 монет — и у нас станет поровну». Сколько денег у каждого?

Пусть у первого купца \(x\) монет, а у второго \(y\) монет. Если второй отдаст 10 монет, у первого станет \(x + 10\) монет, а у второго останется \(y - 10\), и первое число вдвое больше второго. Если 10 монет отдаст первый, у него останется \(x - 10\) монет, а у второго станет \(y + 10\), и эти количества равны:

\[\begin{cases} x + 10 = 2(y - 10), \\ x - 10 = y + 10. \end{cases}\]

Раскроем скобки и перенесём неизвестные в левую часть, а числа — в правую:

\[\begin{cases} x - 2y = -30, \\ x - y = 20. \end{cases}\]

Из второго уравнения \(x = y + 20\); подставим это выражение в первое: \(y + 20 - 2y = -30\); \(-y = -50\); \(y = 50\), и тогда \(x = 50 + 20 = 70\). У первого купца 70 монет, у второго — 50: после первого обмена было бы 80 и 40 монет, после второго — по 60 монет у каждого.

Индийская алгебра дошла до Европы через арабских математиков: книгу аль-Хорезми, написанную в IX веке, европейцы перевели на латынь, а вместе с ней получили и индийские цифры, и ноль, и правила знаков, и приёмы решения уравнений, которыми мы пользуемся до сих пор.

Резюме: Подводя итоги, можно сказать, что в Древней Индии (Ариабхата, Брахмагупта, Бхаскара II) неизвестные обозначали словом «яват-тават» и названиями цветов, что позволяло записывать задачи сразу с несколькими неизвестными; отрицательные числа понимали как долг, поэтому свободно вычитали одно уравнение из другого; систему решали исключением неизвестного — переносом слагаемых, приведением подобных и уравниванием коэффициентов, а для уравнений \(ax + by = c\), которые нужно решить в целых числах, Ариабхата придумал метод «куттака».

План доклада:

1. «Математика в девяти книгах» — главный математический труд Древнего Китая: время создания и 246 задач.
2. Устройство трактата: о чём каждая из девяти книг.
3. Восьмая книга «Фан чэн» — «прямоугольные таблицы»: 18 задач о системах уравнений.
4. Счётная доска и счётные палочки: как записывали систему без букв и знаков.
5. Правило решения: умножение столбца на число и вычитание столбцов.
6. Красные и чёрные палочки: первые в истории правила действий с отрицательными числами.
7. Задача о больших и малых сосудах и её решение.
8. Задача о трёх сортах зерна — система с тремя неизвестными.
9. Комментарий Лю Хуэя и судьба трактата.

Основное содержание.

«Математика в девяти книгах» — самый знаменитый математический трактат Древнего Китая. Он складывался несколько столетий и получил окончательный вид около I века до нашей эры. Это сборник из 246 задач: сначала условие, потом ответ, потом общее правило, по которому такие задачи решают.

Девять книг трактата — это девять разделов. Первая книга — об измерении полей и о действиях с дробями, вторая — о пропорциях при обмене зерна, третья — о пропорциональном делении, четвёртая — о нахождении стороны по площади и объёму, пятая — об объёмах земляных работ, шестая — о налогах и перевозках, седьмая — о правиле «избытка и недостатка», девятая — о прямоугольном треугольнике, включая теорему, известную нам как теорема Пифагора. А восьмая книга целиком посвящена системам линейных уравнений: в ней 18 задач, приводящих к системам из двух, трёх, четырёх и даже пяти уравнений.

Называется эта книга «Фан чэн» — «прямоугольные таблицы», и название точно передаёт способ записи. Буквенных обозначений в Китае не знали, знаков действий и знака равенства тоже не было. Вместо этого коэффициенты выкладывали счётными палочками на счётной доске — расчерченном на клетки поле. Каждое уравнение занимало свой столбец (китайцы писали столбцами справа налево), в верхних клетках стояли коэффициенты при неизвестных, в нижней — свободный член. Получалась прямоугольная таблица чисел — по существу то же самое, что мы записываем буквами.

Правило решения состояло в том, чтобы «уравнивать» столбцы: столбец умножали на подходящее число, а затем вычитали из него другой столбец столько раз, сколько нужно, чтобы верхнее число обратилось в нуль. Так одно неизвестное исключалось, и уравнений становилось на одно меньше; дойдя до столбца с единственным неизвестным, находили его, а затем возвращались назад и находили остальные. Это тот же способ сложения, которым мы решаем системы сегодня, — и записан он был за две тысячи лет до появления современной алгебры.

При вычитании столбцов часто получались отрицательные числа, и китайцы их не отбрасывали: положительные коэффициенты выкладывали красными палочками, отрицательные — чёрными. В трактате впервые в истории математики сформулированы правила сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел — в Европе такие правила признали лишь много веков спустя.

Вот одна из задач восьмой книги: «5 больших сосудов и 1 малый вмещают 3 ху зерна, а 1 большой сосуд и 5 малых вмещают 2 ху. Какова вместимость большого и малого сосудов?» Обозначим через \(x\) ху вместимость большого сосуда, а через \(y\) ху — малого:

\[\begin{cases} 5x + y = 3, \\ x + 5y = 2. \end{cases}\]

Из первого уравнения \(y = 3 - 5x\). Подставим это выражение во второе уравнение: \(x + 5(3 - 5x) = 2\); \(x + 15 - 25x = 2\); \(-24x = -13\); \(x = \frac{13}{24}\). Тогда \(y = 3 - 5 \cdot \frac{13}{24} = 3 - \frac{65}{24} = \frac{7}{24}\). Ровно эти дроби и стоят в ответе трактата: большой сосуд вмещает \(\frac{13}{24}\) ху, малый — \(\frac{7}{24}\) ху.

Открывается восьмая книга задачей о трёх сортах зерна: 3 снопа хорошего урожая, 2 снопа среднего и 1 сноп плохого дают 39 доу зерна; 2 снопа хорошего, 3 среднего и 1 плохого — 34 доу; 1 сноп хорошего, 2 среднего и 3 плохого — 26 доу. Здесь три неизвестных и три уравнения, и в трактате приведён ответ: сноп хорошего урожая даёт \(9\frac{1}{4}\) доу, среднего — \(4\frac{1}{4}\) доу, плохого — \(2\frac{3}{4}\) доу зерна.

В III веке математик Лю Хуэй составил к трактату подробный комментарий, где объяснил, почему правила верны. «Математика в девяти книгах» много веков служила учебником в Китае, Корее и Японии, а способ последовательного исключения неизвестных, изложенный в её восьмой книге, в Европе стал известен только в XVIII–XIX веках.

Резюме: Таким образом, системы линейных уравнений в Древнем Китае решали по восьмой книге трактата «Математика в девяти книгах» (около I века до н. э.), которая называется «Фан чэн» — «прямоугольные таблицы»: коэффициенты уравнений выкладывали счётными палочками столбцами на счётной доске и последовательно исключали неизвестные, умножая столбец на число и вычитая из него другой столбец, — это тот же способ сложения, которым пользуются сейчас; там же впервые появились отрицательные числа (чёрные палочки против красных) и правила действий с ними.

План доклада:

1. Габриэль Крамер (1704–1752) и его книга «Введение в анализ алгебраических кривых» (1750 год).
2. Задача, из которой выросло правило: провести кривую через заданные точки.
3. Определитель системы двух линейных уравнений с двумя переменными.
4. Формулы Крамера и их вывод способом сложения.
5. Три случая и их смысл на чертеже: прямые пересекаются, параллельны, совпадают.
6. Пример: решение системы по правилу Крамера с проверкой.
7. Правило Крамера для трёх и более неизвестных; достоинства и недостатки.
8. Кто получил эти формулы раньше: Лейбниц, Сэки Такакадзу, Маклорен.

Основное содержание.

Габриэль Крамер — швейцарский математик из Женевы, профессор Женевской академии. В 1750 году он выпустил книгу «Введение в анализ алгебраических кривых», и в приложении к ней напечатал правило, которое теперь носит его имя. К этому правилу Крамера привела вполне геометрическая задача: сколько точек нужно задать, чтобы через них проходила единственная кривая данного вида, и как найти её уравнение. Коэффициенты уравнения кривой находятся из системы линейных уравнений, и Крамеру понадобилась общая формула, годная сразу для любого числа неизвестных.

Возьмём систему двух линейных уравнений с двумя переменными:

\[\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1, \\ a_2x + b_2y = c_2. \end{cases}\]

Число \(\Delta = a_1b_2 - a_2b_1\) называют определителем этой системы. Его удобно представлять себе как таблицу коэффициентов при неизвестных, записанную между двумя вертикальными чертами, из которой произведение чисел одной диагонали вычитается из произведения чисел другой:

\[\Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1b_2 - a_2b_1.\]

Откуда берётся это выражение, видно из обычного способа сложения. Умножим первое уравнение на \(b_2\), второе на \(-b_1\) и сложим их — переменная \(y\) исчезнет: \((a_1b_2 - a_2b_1)x = c_1b_2 - c_2b_1\). Точно так же, умножив первое уравнение на \(-a_2\), второе на \(a_1\) и сложив, получим \((a_1b_2 - a_2b_1)y = a_1c_2 - a_2c_1\). В обоих случаях слева стоит один и тот же множитель \(\Delta\).

Поэтому если \(\Delta \ne 0\), то система имеет единственное решение, и его дают формулы Крамера:

\[x = \frac{\Delta_x}{\Delta}, \qquad y = \frac{\Delta_y}{\Delta}.\]

Здесь \(\Delta_x = c_1b_2 - c_2b_1\) и \(\Delta_y = a_1c_2 - a_2c_1\) — определители, которые получаются из \(\Delta\), если столбец коэффициентов при искомой переменной заменить столбцом свободных членов.

На чертеже это выглядит так. Условие \(\Delta \ne 0\) означает, что прямые, заданные уравнениями системы, не параллельны: они пересекаются ровно в одной точке, координаты которой и дают формулы. Если же \(\Delta = 0\), прямые либо параллельны, либо совпадают: решений нет вовсе или их бесконечно много, и в этом случае правило Крамера ответа не даёт — систему приходится разбирать отдельно.

Решим по этому правилу систему

\[\begin{cases} 2x + 3y = 8, \\ 5x - y = 3. \end{cases}\]

Здесь \(\Delta = 2 \cdot (-1) - 5 \cdot 3 = -2 - 15 = -17\), и он не равен нулю, значит, решение единственное. Далее \(\Delta_x = 8 \cdot (-1) - 3 \cdot 3 = -8 - 9 = -17\) и \(\Delta_y = 2 \cdot 3 - 5 \cdot 8 = 6 - 40 = -34\), поэтому \(x = \frac{-17}{-17} = 1\) и \(y = \frac{-34}{-17} = 2\). Проверка: \(2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 = 2 + 6 = 8\) и \(5 \cdot 1 - 2 = 3\) — оба равенства верные.

Главная ценность правила в том, что оно переносится на любое число неизвестных: для системы из трёх уравнений с тремя неизвестными нужны определители, составленные из трёх строк и трёх столбцов, для системы из \(n\) уравнений — определители из \(n\) строк и столбцов. Формулы при этом выглядят одинаково: каждое неизвестное равно своему определителю, делённому на определитель системы. Удобно оно и тогда, когда в коэффициентах есть параметр: сразу видно, при каких его значениях решение единственное. Но у правила есть и большой недостаток — считать по нему очень долго: для системы из двадцати уравнений вычислений оказывается столько, что с ними не справится и мощный компьютер. Поэтому на практике системы решают последовательным исключением неизвестных — тем же способом сложения, что и в школе.

Стоит знать, что похожие формулы находили и раньше: их знал Готфрид Лейбниц (письмо 1693 года), японский математик Сэки Такакадзу писал об определителях ещё в 1683 году, а шотландец Колин Маклорен записал правило около 1729 года — его книга вышла посмертно в 1748 году. Но именно запись Крамера оказалась самой удобной и разошлась по учебникам, поэтому правило и называют его именем.

Резюме: Подводя итоги, можно сказать, что правило Крамера, напечатанное Габриэлем Крамером в 1750 году, выражает решение системы \(a_1x + b_1y = c_1\), \(a_2x + b_2y = c_2\) через определители: если определитель системы \(\Delta = a_1b_2 - a_2b_1\) не равен нулю, то решение единственно и равно \(x = \frac{c_1b_2 - c_2b_1}{\Delta}\), \(y = \frac{a_1c_2 - a_2c_1}{\Delta}\) (прямые пересекаются в одной точке), а при \(\Delta = 0\) прямые параллельны или совпадают и правило неприменимо; получают эти формулы обычным способом сложения, они переносятся на любое число неизвестных, но требуют слишком много вычислений, поэтому на практике системы решают последовательным исключением неизвестных.