Контрольные вопросы и задания на страницах 235-236, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Пара чисел \((x; y)\) называется решением системы двух уравнений с двумя переменными, если она является решением каждого из уравнений системы, то есть при подстановке этих чисел в каждое уравнение получается верное равенство.

Решить систему уравнений — значит найти все её решения или доказать, что их нет.

Например, рассмотрим систему

\[\begin{cases} x + y = 10, \\ x - y = 4. \end{cases}\]

Её решением является пара \((7; 3)\): \(7 + 3 = 10\) — верно, \(7 - 3 = 4\) — верно. Других решений у этой системы нет, поэтому решить её — значит указать единственную пару \((7; 3)\).

Порядок чисел в паре важен: пара \((3; 7)\) решением этой системы уже не является, потому что \(3 - 7 = -4\), а в правой части второго уравнения стоит 4.

Ответ: решением системы двух линейных уравнений с двумя переменными называется пара чисел \((x; y)\), обращающая в верное равенство каждое уравнение системы; решить систему — значит найти все её решения или доказать, что их нет.

Каждое линейное уравнение с двумя переменными задаёт на координатной плоскости прямую, а решение системы — это общая точка двух прямых. Две прямые на плоскости либо пересекаются в одной точке, либо параллельны, либо совпадают. Поэтому система двух линейных уравнений с двумя переменными может иметь одно решение, не иметь решений или иметь бесконечно много решений.

Одно решение имеет система

\[\begin{cases} y = 3x - 4, \\ y = -x + 4. \end{cases}\]

Угловые коэффициенты прямых различны (\(3 \neq -1\)), поэтому прямые пересекаются: \(3x - 4 = -x + 4\); \(4x = 8\); \(x = 2\), тогда \(y = 2\). Решением является пара \((2; 2)\).

Решений не имеет система

\[\begin{cases} y = 3x - 4, \\ y = 3x + 1. \end{cases}\]

Угловые коэффициенты прямых одинаковы, а коэффициенты \(b\) различны, поэтому прямые параллельны и общих точек не имеют.

Бесконечно много решений у системы

\[\begin{cases} x + 2y = 6, \\ 3x + 6y = 18. \end{cases}\]

Второе уравнение получается из первого умножением обеих частей на 3, поэтому оба уравнения задают одну и ту же прямую \(y = -0{,}5x + 3\), а на прямой бесконечно много точек. Решениями являются все пары вида \((x;\ -0{,}5x + 3)\).

Ответ: система линейных уравнений с двумя переменными может иметь одно решение, не иметь решений или иметь бесконечно много решений.

Графический способ основан на том, что каждое уравнение системы задаёт прямую, а решением системы является пара координат точки пересечения этих прямых.

Решим графическим способом систему

\[\begin{cases} x + y = 5, \\ y - 2x = -1. \end{cases}\]

Выразим в уравнениях \(y\) через \(x\):

\[\begin{cases} y = -x + 5, \\ y = 2x - 1. \end{cases}\]

Построим соответствующие прямые на одной координатной плоскости.

Прямые пересекаются в точке \((2; 3)\). Проверим пару \((2; 3)\) подстановкой в оба уравнения системы: \(2 + 3 = 5\) — верно; \(3 - 2 \cdot 2 = -1\) — верно. Значит, эта пара действительно является решением системы.

Ответ: при графическом способе в каждом уравнении выражают \(y\) через \(x\), строят обе прямые на одной координатной плоскости и берут координаты их точки пересечения; для системы \(x + y = 5\), \(y - 2x = -1\) решением является пара \((2; 3)\).

Способ подстановки состоит из четырёх шагов: из любого уравнения системы выражают одну переменную через другую; подставляют полученное выражение вместо этой переменной в другое уравнение; решают получившееся уравнение с одной переменной; подставляют найденное значение в выражение, полученное на первом шаге.

Решим способом подстановки систему

\[\begin{cases} 3x - y = 5, \\ 2x + 3y = 7. \end{cases}\]

В первом уравнении коэффициент при \(y\) равен \(-1\), поэтому выразим из него \(y\) через \(x\) и подставим полученное выражение во второе уравнение:

\[\begin{cases} y = 3x - 5, \\ 2x + 3(3x - 5) = 7; \end{cases} \qquad \begin{cases} y = 3x - 5, \\ 2x + 9x - 15 = 7. \end{cases}\]

Решим второе уравнение полученной системы и найдём значение \(y\):

\[\begin{cases} y = 3x - 5, \\ 11x = 22; \end{cases} \qquad \begin{cases} x = 2, \\ y = 1. \end{cases}\]

Проверка: \(3 \cdot 2 - 1 = 5\) — верно; \(2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 7\) — верно.

Ответ: при способе подстановки из одного уравнения выражают одну переменную через другую и подставляют это выражение в другое уравнение системы; для системы \(3x - y = 5\), \(2x + 3y = 7\) получается решение \(x = 2\), \(y = 1\).

Суммой двух уравнений называется уравнение, левая часть которого равна сумме левых частей исходных уравнений, а правая — сумме правых частей. При способе сложения уравнения системы умножают на такие числа, чтобы коэффициенты при одной из переменных отличались только знаком, и складывают: слагаемые с этой переменной уничтожаются, и получается уравнение с одной переменной.

Решим способом сложения систему

\[\begin{cases} 3x + 2y = 13, \\ 5x - 4y = 7. \end{cases}\]

Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при \(y\) отличались только знаком:

\[\begin{cases} 3x + 2y = 13, & | \cdot 2 \\ 5x - 4y = 7; \end{cases} \qquad \begin{cases} 6x + 4y = 26, \\ 5x - 4y = 7. \end{cases}\]

Сложим уравнения полученной системы:

\[(6x + 4y) + (5x - 4y) = 26 + 7; \qquad 11x = 33; \qquad x = 3.\]

Подставим \(x = 3\) в первое уравнение исходной системы:

\[3 \cdot 3 + 2y = 13; \qquad 2y = 4; \qquad y = 2.\]

Проверка: \(3 \cdot 3 + 2 \cdot 2 = 9 + 4 = 13\) — верно; \(5 \cdot 3 - 4 \cdot 2 = 15 - 8 = 7\) — верно.

Ответ: при способе сложения уравнения системы умножают на такие числа, чтобы коэффициенты при одной из переменных отличались только знаком, и складывают; для системы \(3x + 2y = 13\), \(5x - 4y = 7\) получается решение \(x = 3\), \(y = 2\).

Системой линейных уравнений решают задачи, в которых есть две неизвестные величины и два условия, связывающие их.

Задача о покупках. За 3 тетради и 2 ручки заплатили 210 рублей, а за 2 тетради и 5 ручек — 360 рублей. Сколько стоит тетрадь и сколько стоит ручка? Если тетрадь стоит \(x\) рублей, а ручка — \(y\) рублей, условия задачи дают систему

\[\begin{cases} 3x + 2y = 210, \\ 2x + 5y = 360. \end{cases}\]

Умножим первое уравнение на 5, а второе — на \(-2\) и сложим полученные уравнения: \(11x = 330\); \(x = 30\). Тогда \(3 \cdot 30 + 2y = 210\); \(2y = 120\); \(y = 60\). Тетрадь стоит 30 рублей, ручка — 60 рублей.

Задача на движение по воде. Скорость катера по течению реки равна 22 км/ч, а против течения — 18 км/ч. Найдите собственную скорость катера и скорость течения реки. Если собственная скорость катера равна \(x\) км/ч, а скорость течения — \(y\) км/ч, условия задачи дают систему

\[\begin{cases} x + y = 22, \\ x - y = 18. \end{cases}\]

Сложим уравнения: \(2x = 40\); \(x = 20\). Тогда \(y = 22 - 20 = 2\). Собственная скорость катера равна 20 км/ч, скорость течения — 2 км/ч.

Задача о двух числах. Сумма двух чисел равна 30, а их разность равна 8. Найдите эти числа. Обозначив числа через \(x\) и \(y\), получаем систему

\[\begin{cases} x + y = 30, \\ x - y = 8. \end{cases}\]

Сложим уравнения: \(2x = 38\); \(x = 19\). Тогда \(y = 30 - 19 = 11\). Искомые числа — 19 и 11.

Так же решают задачи о движении двух участников навстречу друг другу или вдогонку, о смешивании двух растворов разной концентрации и о массе предметов двух видов.

Ответ: системой линейных уравнений с двумя переменными решают задачи с двумя неизвестными величинами и двумя условиями — например, задачу о стоимости двух видов товара, задачу о движении по реке (собственная скорость и скорость течения) и задачу о двух числах по их сумме и разности.