Контрольные вопросы и задания на странице 210, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Прямой пропорциональностью называется функция вида \(y = kx\), где \(k\) — любое число, не равное нулю. Число \(k\) называется коэффициентом пропорциональности; для любого \(x \neq 0\) отношение \(\frac{y}{x}\) постоянно и равно \(k\).

Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат — точку \((0; 0)\).

Поэтому для построения графика достаточно найти координаты одной точки графика, отличной от начала координат, и провести прямую через эту точку и начало координат.

Например, для функции \(y = 2x\) при \(x = 1\) получаем \(y = 2 \cdot 1 = 2\). Прямая, проведённая через точки \((0; 0)\) и \((1; 2)\), и есть график этой функции.

Прямой пропорциональностью задаются многие величины: стоимость \(y\) рублей товара, который стоит 40 рублей за килограмм, — это \(y = 40x\), где \(x\) — масса в килограммах; путь \(y\) километров, пройденный за \(x\) часов со скоростью 60 км/ч, — это \(y = 60x\).

Ответ: прямая пропорциональность — функция вида \(y = kx\), где \(k \neq 0\); её график — прямая, проходящая через начало координат, и строится он по точке \((0; 0)\) и одной любой другой точке графика, например для функции \(y = 2x\) — по точкам \((0; 0)\) и \((1; 2)\).

При \(k > 0\) прямая расположена в I и III координатных четвертях, и функция возрастает. При \(k < 0\) прямая расположена во II и IV четвертях, и функция убывает. Чем больше положительный угловой коэффициент, тем круче прямая поднимается.

Например, график функции \(y = 2x\) проходит через точки \((1; 2)\) и \((-1; -2)\), лежащие в I и III четвертях, а график функции \(y = -2x\) — через точки \((1; -2)\) и \((-1; 2)\), лежащие в IV и II четвертях.

Ответ: при \(k > 0\) график прямой пропорциональности расположен в I и III координатных четвертях и функция возрастает, при \(k < 0\) — во II и IV четвертях и функция убывает.

Линейная функция — это функция, которую можно задать формулой вида \(y = kx + b\), где \(x\) — переменная, а \(k\) и \(b\) — некоторые числа, называемые коэффициентами линейной функции.

Например, \(y = 3x - 7\) — линейная функция с коэффициентами \(k = 3\) и \(b = -7\); при \(x = 2\) она принимает значение \(3 \cdot 2 - 7 = -1\).

Каждый из коэффициентов может быть равен нулю: при \(b = 0\) получается прямая пропорциональность \(y = kx\), а при \(k = 0\) — функция \(y = b\), принимающая одно и то же значение при всех \(x\).

Ответ: линейная функция — функция, задаваемая формулой вида \(y = kx + b\), где \(x\) — переменная, а \(k\) и \(b\) — числа; например, \(y = 3x - 7\).

Графиком любой линейной функции \(y = kx + b\) является прямая. Верно и обратное: любая не вертикальная прямая на плоскости — график некоторой линейной функции.

Через две точки проходит единственная прямая, поэтому для построения графика достаточно отметить какие-нибудь две точки, лежащие на графике, и провести через них прямую.

Например, для функции \(y = 0{,}5x - 2\) возьмём значения \(x = 0\) и \(x = 4\) и найдём соответствующие значения \(y\):

\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 4 \\ \hline y & -2 & 0 \\ \hline \end{array}\]

Прямая, проведённая через точки \((0; -2)\) и \((4; 0)\), — график этой функции.

Ответ: графиком линейной функции является прямая; чтобы её построить, находят две точки графика (для функции \(y = 0{,}5x - 2\) это точки \((0; -2)\) и \((4; 0)\)) и проводят через них прямую.

Угловым коэффициентом прямой, являющейся графиком линейной функции \(y = kx + b\), называется коэффициент \(k\) при переменной.

Он определяет угол наклона прямой: при \(k > 0\) угол наклона острый и функция возрастает, при \(k < 0\) угол тупой и функция убывает, при \(k = 0\) прямая горизонтальна. От коэффициента \(b\) угол наклона не зависит — изменение \(b\) только сдвигает прямую вдоль оси \(y\).

По координатам двух точек \(A(x_A; y_A)\) и \(B(x_B; y_B)\), лежащих на прямой, угловой коэффициент находится по основному свойству линейной функции:

\[k = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}.\]

Например, для прямой, проходящей через точки \(A(1; 4)\) и \(B(3; 10)\), угловой коэффициент равен \(k = \frac{10 - 4}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3\).

Ответ: угловой коэффициент прямой \(y = kx + b\) — это коэффициент \(k\); он задаёт угол наклона прямой и находится по двум её точкам как \(k = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\).

Графики линейных функций \(y = k_1x + b_1\) и \(y = k_2x + b_2\) пересекаются тогда, когда их угловые коэффициенты различны: \(k_1 \neq k_2\).

Если угловые коэффициенты равны, а коэффициенты \(b\) различны (\(k_1 = k_2\) и \(b_1 \neq b_2\)), прямые параллельны; выше проходит та из них, у которой \(b\) больше. Если же равны и угловые коэффициенты, и коэффициенты \(b\), прямые совпадают.

Например, прямые \(y = 2x + 1\) и \(y = -3x + 6\) пересекаются, так как \(2 \neq -3\). Найдём точку их пересечения:

\[2x + 1 = -3x + 6; \qquad 5x = 5; \qquad x = 1.\]

При \(x = 1\) обе функции принимают значение \(2 \cdot 1 + 1 = 3\), значит, прямые пересекаются в точке \((1; 3)\).

Прямые \(y = 2x + 1\) и \(y = 2x - 4\) параллельны: их угловые коэффициенты равны, а коэффициенты \(b\) разные.

Ответ: графики двух линейных функций пересекаются, если их угловые коэффициенты различны (\(k_1 \neq k_2\)), и параллельны, если угловые коэффициенты равны, а коэффициенты \(b\) различны (\(k_1 = k_2\), \(b_1 \neq b_2\)).

Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида \(ax + by = c\), где \(a\) и \(b\) не равны нулю одновременно.

Решением такого уравнения называется любая пара чисел \(x\) и \(y\), при подстановке которых получается верное равенство. Порядок чисел в паре важен.

Например, для уравнения \(3x + 2y = 12\) пара \((2; 3)\) является решением, так как \(3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 6 + 6 = 12\). А пара \((3; 2)\) решением не является: \(3 \cdot 3 + 2 \cdot 2 = 9 + 4 = 13\), а не 12.

Решений у такого уравнения бесконечно много, и на координатной плоскости все точки, координаты которых являются его решениями, образуют прямую — график этого уравнения.

Ответ: линейное уравнение с двумя переменными — уравнение вида \(ax + by = c\), где \(a\) и \(b\) не равны нулю одновременно; его решение — пара чисел \(x\) и \(y\), обращающая уравнение в верное равенство, например пара \((2; 3)\) для уравнения \(3x + 2y = 12\).

Функция называется кусочно-линейной, если её область определения разбивается на промежутки, на каждом из которых она задаётся формулой вида \(y = kx + b\). Коэффициенты \(k\) и \(b\) на разных промежутках могут быть разными.

Пример кусочно-линейной функции — функция \(y = |x|\), которая по определению модуля задаётся так:

\[y = \begin{cases} -x & \text{при } x < 0, \\ x & \text{при } x \geqslant 0. \end{cases}\]

Ещё один пример кусочно-линейной функции:

\[y = \begin{cases} 2x + 4 & \text{при } x < 1, \\ -x + 7 & \text{при } x \geqslant 1. \end{cases}\]

При \(x = -2\) значение вычисляется по первой формуле: \(y = 2 \cdot (-2) + 4 = 0\), а при \(x = 4\) — по второй: \(y = -4 + 7 = 3\). Оба луча графика сходятся в точке \((1; 6)\).

Кусочно-линейными являются и графики движения, составленные из отрезков: на каждом участке пути тело движется с постоянной скоростью, и на каждом промежутке времени действует своя формула вида \(y = kx + b\).

Ответ: кусочно-линейной называется функция, область определения которой разбивается на промежутки, и на каждом из них функция задаётся формулой вида \(y = kx + b\); примеры — функция \(y = |x|\) и функция, равная \(2x + 4\) при \(x < 1\) и \(-x + 7\) при \(x \geqslant 1\).