Контрольные вопросы и задания на странице 169, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
1. Сформулируйте признаки делимости натурального числа на 2; на 3; на 4; на 5; на 9; на 10; на 25. Приведите примеры.
2. Приведите примеры простых чисел.
3. Приведите примеры составных чисел.
4. Приведите примеры разложения составного числа на простые множители.
5. Произведение двух чисел делится на простое число. Что можно утверждать про деление этих чисел на это простое число?
6. Приведите примеры нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел.
7. Приведите примеры нахождения наименьшего общего кратного двух натуральных чисел.
8. Каждое из двух натуральных чисел при делении на простое число даёт ненулевой остаток. Что можно утверждать про делимость на это простое число разности, произведения данных чисел?
Число делится на 2, когда его последняя цифра делится на 2, то есть когда оно оканчивается цифрой 0, 2, 4, 6 или 8. Например, у 3574 последняя цифра 4: \(3574 = 2 \cdot 1787\).
Число делится на 3, когда сумма его цифр делится на 3. Например, у 4251 сумма цифр \(4 + 2 + 5 + 1 = 12\) делится на 3: \(4251 = 3 \cdot 1417\).
Число делится на 4, когда на 4 делится двузначное число из двух его последних цифр. Например, у 7316 это \(16 = 4 \cdot 4\): \(7316 = 4 \cdot 1829\).
Число делится на 5, когда его последняя цифра делится на 5, то есть когда оно оканчивается цифрой 0 или 5. Например, у 2385 последняя цифра 5: \(2385 = 5 \cdot 477\).
Число делится на 9, когда сумма его цифр делится на 9. Например, у 5823 сумма цифр \(5 + 8 + 2 + 3 = 18\) делится на 9: \(5823 = 9 \cdot 647\).
Число делится на 10, когда его последняя цифра 0. Например, 4720 оканчивается нулём: \(4720 = 10 \cdot 472\).
Число делится на 25, когда на 25 делится двузначное число из двух его последних цифр, то есть когда оно оканчивается на 00, 25, 50 или 75. Например, у 6175 это \(75 = 25 \cdot 3\): \(6175 = 25 \cdot 247\).
Ответ: на 2 (на 5) число делится, когда на 2 (на 5) делится его последняя цифра; на 10 — когда его последняя цифра 0; на 4 (на 25) — когда на 4 (на 25) делится число из двух его последних цифр; на 3 (на 9) — когда на 3 (на 9) делится сумма его цифр.
Все простые числа, меньшие 50:
\[2; \; 3; \; 5; \; 7; \; 11; \; 13; \; 17; \; 19; \; 23; \; 29; \; 31; \; 37; \; 41; \; 43; \; 47.\]
Число 13 простое: оно нечётное, сумма цифр \(1 + 3 = 4\) на 3 не делится, оно оканчивается не нулём и не пятёркой; другой делитель дал бы равенство \(13 = mn\) с множителями больше 1, где меньший не превосходит 3, ведь уже \(4 \cdot 4 = 16\) больше 13, — таких делителей нет.
Число 2 — наименьшее простое и единственное чётное среди простых; единица не простая и не составная.
Ответ: например, 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29 — простые числа.
\(4 = 2 \cdot 2\) — делители 1, 2 и 4; наименьшее составное число.
\(15 = 3 \cdot 5\) — делители 1, 3, 5 и 15.
\(21 = 3 \cdot 7\) — делители 1, 3, 7 и 21.
\(91 = 7 \cdot 13\) — составное, хотя не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5.
\(100 = 4 \cdot 25\) — среди делителей 2, 4, 5, 10, 20, 25 и 50.
Составное и любое чётное число, большее двух: оно делится на 2.
Ответ: например, 4; 15; 21; 91; 100 — составные числа.
Делим последовательно на простые числа: слева от черты — частное, справа — простой делитель.
\[\begin{array}{r|l} 360 & 2 \\ 180 & 2 \\ 90 & 2 \\ 45 & 3 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array}\]
Число 360 равно произведению всех чисел справа от черты, одинаковые множители собирают в степени:
\[360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5.\]
Небольшие числа раскладывают в строку: \(84 = 4 \cdot 21 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7\) и \(275 = 5 \cdot 55 = 5^2 \cdot 11\).
Ответ: например, \(360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5\); \(84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7\); \(275 = 5^2 \cdot 11\).
Если произведение чисел \(a\) и \(b\) делится на простое число \(p\), то на \(p\) делится хотя бы один из множителей.
\(14 \cdot 15 = 210\) делится на 7, и множитель \(14 = 7 \cdot 2\) делится на 7.
\(6 \cdot 9 = 54\) делится на 3, здесь на 3 делятся оба множителя, — значит, утверждать можно только то, что делится хотя бы один из них.
Для составного делителя это неверно: \(4 \cdot 15 = 60\) делится на 6, так как \(60 = 6 \cdot 10\), но ни 4, ни 15 на 6 не делятся.
Ответ: хотя бы один из двух множителей делится на это простое число (возможно, и оба).
\[84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7, \qquad 120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5.\]
В наибольший общий делитель входят общие для обоих разложений простые множители в наименьших степенях: \(\mathrm{НОД}(84; 120) = 2^2 \cdot 3 = 12\).
\(84 = 12 \cdot 7\) и \(120 = 12 \cdot 10\) — оба числа делятся на 12.
Алгоритм Евклида: делим с остатком, пока не получится деление нацело.
\[252 = 1 \cdot 198 + 54,\]
\[198 = 3 \cdot 54 + 36,\]
\[54 = 1 \cdot 36 + 18,\]
\[36 = 2 \cdot 18.\]
Последний ненулевой остаток равен 18, значит, \(\mathrm{НОД}(252; 198) = 18\).
Проверка: \(252 = 18 \cdot 14\) и \(198 = 18 \cdot 11\) — оба числа делятся на 18.
Ответ: например, \(\mathrm{НОД}(84; 120) = 12\) и \(\mathrm{НОД}(252; 198) = 18\).
\(84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7\) и \(120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5\); в наименьшее общее кратное входят все простые множители обоих чисел в наибольших степенях:
\[\mathrm{НОК}(84; 120) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 840.\]
\(840 = 84 \cdot 10\) и \(840 = 120 \cdot 7\) — число 840 делится на оба числа.
Проверка: \(\mathrm{НОД}(84; 120) = 2^2 \cdot 3 = 12\), а произведение НОД и НОК равно произведению самих чисел: \(12 \cdot 840 = 10\,080\) и \(84 \cdot 120 = 10\,080\).
У взаимно простых чисел НОК равно их произведению: у \(9 = 3^2\) и \(20 = 2^2 \cdot 5\) общих простых множителей нет, поэтому \(\mathrm{НОК}(9; 20) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 180 = 9 \cdot 20\).
Ответ: например, \(\mathrm{НОК}(84; 120) = 840\) и \(\mathrm{НОК}(9; 20) = 180\).
Разность может как делиться на это простое число, так и не делиться.
Остатки одинаковые — разность делится: при делении на 5 числа 12 и 27 дают остаток 2, ведь \(12 = 5 \cdot 2 + 2\) и \(27 = 5 \cdot 5 + 2\), и разность \(27 - 12 = 15\) делится на 5.
Остатки разные — разность не делится: остаток разности равен разности остатков, она не нулевая и по модулю меньше делителя. При делении на 5 число 13 даёт остаток 3, а 12 — остаток 2, и \(13 - 12 = 1\) на 5 не делится.
Произведение не делится никогда: иначе на \(p\) делился бы хотя бы один множитель, а по условию ни одно из чисел на \(p\) не делится. Например, остаток \(12 \cdot 13 = 156\) при делении на 5 такой же, как у \(2 \cdot 3 = 6\), то есть равен 1.
Ответ: разность делится на это простое число, если данные числа дают одинаковые остатки, и не делится, если остатки разные; произведение на это простое число не делится.
1. Сформулируйте признаки делимости натурального числа на 2; на 3; на 4; на 5; на 9; на 10; на 25. Приведите примеры.
2. Приведите примеры простых чисел.
3. Приведите примеры составных чисел.
4. Приведите примеры разложения составного числа на простые множители.
5. Произведение двух чисел делится на простое число. Что можно утверждать про деление этих чисел на это простое число?
6. Приведите примеры нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел.
7. Приведите примеры нахождения наименьшего общего кратного двух натуральных чисел.
8. Каждое из двух натуральных чисел при делении на простое число даёт ненулевой остаток. Что можно утверждать про делимость на это простое число разности, произведения данных чисел?
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть когда число оканчивается цифрой 0, 2, 4, 6 или 8. Например, число 3574 оканчивается цифрой 4, поэтому делится на 2: \(3574 = 2 \cdot 1787\).
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Например, сумма цифр числа 4251 равна \(4 + 2 + 5 + 1 = 12\), число 12 делится на 3, поэтому и 4251 делится на 3: \(4251 = 3 \cdot 1417\).
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда двузначное число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4. Например, две последние цифры числа 7316 образуют число 16, и \(16 = 4 \cdot 4\), поэтому 7316 делится на 4: \(7316 = 4 \cdot 1829\).
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 5, то есть когда число оканчивается цифрой 0 или 5. Например, число 2385 оканчивается цифрой 5, поэтому делится на 5: \(2385 = 5 \cdot 477\).
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Например, сумма цифр числа 5823 равна \(5 + 8 + 2 + 3 = 18\), и \(18 = 9 \cdot 2\), поэтому 5823 делится на 9: \(5823 = 9 \cdot 647\).
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда его последняя цифра 0. Например, число 4720 оканчивается нулём, поэтому делится на 10: \(4720 = 10 \cdot 472\).
Число делится на 25 тогда и только тогда, когда двузначное число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 25, то есть когда число оканчивается на 00, 25, 50 или 75. Например, две последние цифры числа 6175 образуют число 75, и \(75 = 25 \cdot 3\), поэтому 6175 делится на 25: \(6175 = 25 \cdot 247\).
Ответ: на 2 (на 5) число делится, когда на 2 (на 5) делится его последняя цифра; на 10 — когда его последняя цифра 0; на 4 (на 25) — когда на 4 (на 25) делится число из двух его последних цифр; на 3 (на 9) — когда на 3 (на 9) делится сумма его цифр.
Простым называется натуральное число, у которого есть только два различных натуральных делителя: единица и само это число.
Все простые числа, меньшие 50:
\[2; \; 3; \; 5; \; 7; \; 11; \; 13; \; 17; \; 19; \; 23; \; 29; \; 31; \; 37; \; 41; \; 43; \; 47.\]
Проверим, например, число 13. Оно нечётное, поэтому на 2 не делится; сумма его цифр равна \(1 + 3 = 4\), число 4 на 3 не делится, поэтому и 13 не делится на 3; оканчивается число 13 не нулём и не пятёркой, значит, не делится и на 5. Если бы у числа 13 нашёлся ещё какой-нибудь делитель, то было бы верно равенство \(13 = mn\), где оба натуральных множителя больше 1; меньший из них не превосходил бы 3, ведь уже \(4 \cdot 4 = 16\) больше 13. Таких делителей у числа 13 нет, поэтому оно простое.
Число 2 — наименьшее простое число и единственное чётное среди простых, все остальные простые числа нечётные. Единица не является ни простым, ни составным числом: у неё только один делитель. Простых чисел бесконечно много.
Ответ: например, 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29 — простые числа.
Составным называется натуральное число, у которого больше двух различных натуральных делителей.
Число 4 составное: кроме 1 и 4, оно делится ещё и на 2, так как \(4 = 2 \cdot 2\). Наименьшее составное число — это 4.
Число 15 составное: у него четыре делителя — 1, 3, 5 и 15, ведь \(15 = 3 \cdot 5\).
Число 21 составное: \(21 = 3 \cdot 7\), поэтому кроме 1 и 21 у него есть делители 3 и 7.
Число 91 тоже составное, хотя оно не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5: \(91 = 7 \cdot 13\).
Число 100 составное: \(100 = 4 \cdot 25\), среди его делителей есть, например, 2, 4, 5, 10, 20, 25 и 50.
Составным является и любое чётное число, большее двух: кроме единицы и самого себя оно делится ещё и на 2.
Ответ: например, 4; 15; 21; 91; 100 — составные числа.
Раскладывая число на простые множители, его последовательно делят на простые числа. Запись удобно вести с вертикальной чертой: слева от неё — очередное частное, справа — простой делитель. Разложим таким способом число 360:
\[\begin{array}{r|l} 360 & 2 \\ 180 & 2 \\ 90 & 2 \\ 45 & 3 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array}\]
Число 360 равно произведению всех чисел, записанных справа от черты. Одинаковые множители собирают в степени, а сами множители располагают в порядке возрастания:
\[360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5.\]
Небольшие числа раскладывают в строку: \(84 = 4 \cdot 21 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7\) и \(275 = 5 \cdot 55 = 5^2 \cdot 11\).
По основной теореме арифметики такое разложение у каждого натурального числа, большего единицы, только одно (с точностью до порядка множителей).
Ответ: например, \(360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5\); \(84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7\); \(275 = 5^2 \cdot 11\).
Если произведение двух натуральных чисел \(a\) и \(b\) делится на простое число \(p\), то либо \(a\) делится на \(p\), либо \(b\) делится на \(p\). Значит, на это простое число делится хотя бы один из множителей.
Например, произведение \(14 \cdot 15 = 210\) делится на 7, и один из множителей — число 14 — тоже делится на 7: \(14 = 7 \cdot 2\). Делиться могут и оба множителя сразу: произведение \(6 \cdot 9 = 54\) делится на 3, причём на 3 делится и 6, и 9. Поэтому утверждать можно только то, что делится хотя бы один множитель, но не каждый из них.
Для составного делителя это свойство неверно: произведение \(4 \cdot 15 = 60\) делится на 6, так как \(60 = 6 \cdot 10\), но ни число 4, ни число 15 на 6 не делятся.
Ответ: хотя бы один из двух множителей делится на это простое число (возможно, и оба).
Наибольший общий делитель двух чисел — это наибольшее натуральное число, на которое делятся оба данных числа.
Найдём \(\mathrm{НОД}(84; 120)\) по разложениям на простые множители:
\[84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7, \qquad 120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5.\]
В общий делитель входят только те простые множители, которые есть в обоих разложениях, причём в наименьших степенях: \(\mathrm{НОД}(84; 120) = 2^2 \cdot 3 = 12\).
Оба числа на 12 делятся: \(84 = 12 \cdot 7\) и \(120 = 12 \cdot 10\).
Когда числа большие и раскладывать их долго, пользуются алгоритмом Евклида. Найдём \(\mathrm{НОД}(252; 198)\), деля числа с остатком до тех пор, пока не произойдёт деление нацело:
\[252 = 1 \cdot 198 + 54,\]
\[198 = 3 \cdot 54 + 36,\]
\[54 = 1 \cdot 36 + 18,\]
\[36 = 2 \cdot 18.\]
Последний ненулевой остаток равен 18, значит, \(\mathrm{НОД}(252; 198) = 18\).
Проверка: \(252 = 18 \cdot 14\) и \(198 = 18 \cdot 11\) — оба числа делятся на 18.
Ответ: например, \(\mathrm{НОД}(84; 120) = 12\) и \(\mathrm{НОД}(252; 198) = 18\).
Наименьшее общее кратное двух чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел.
Найдём \(\mathrm{НОК}(84; 120)\) по разложениям \(84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7\) и \(120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5\). В общее кратное входят все простые множители обоих чисел, причём в наибольших степенях:
\[\mathrm{НОК}(84; 120) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 840.\]
Число 840 действительно делится на оба числа: \(840 = 84 \cdot 10\) и \(840 = 120 \cdot 7\).
Проверка: наибольший общий делитель этих чисел равен \(2^2 \cdot 3 = 12\), а произведение НОД и НОК равно произведению самих чисел: \(12 \cdot 840 = 10\,080\) и \(84 \cdot 120 = 10\,080\).
У взаимно простых чисел, наибольший общий делитель которых равен 1, наименьшее общее кратное равно их произведению. Например, разложения \(9 = 3^2\) и \(20 = 2^2 \cdot 5\) общих простых множителей не имеют, поэтому \(\mathrm{НОК}(9; 20) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 180\), то есть \(\mathrm{НОК}(9; 20) = 9 \cdot 20 = 180\).
Ответ: например, \(\mathrm{НОК}(84; 120) = 840\) и \(\mathrm{НОК}(9; 20) = 180\).
Разность таких чисел может как делиться на это простое число, так и не делиться.
Если оба числа дают при делении одинаковые остатки, то их разность делится на это простое число. Например, при делении на 5 числа 12 и 27 дают один и тот же остаток 2, так как \(12 = 5 \cdot 2 + 2\) и \(27 = 5 \cdot 5 + 2\); их разность \(27 - 12 = 15\) делится на 5.
Если остатки разные, то разность на это простое число не делится: остаток разности такой же, как у разности остатков, а она не равна нулю, и её модуль меньше делителя. Например, при делении на 5 число 13 даёт остаток 3, а число 12 — остаток 2; их разность \(13 - 12 = 1\) на 5 не делится.
Произведение таких чисел на это простое число не делится никогда. Если бы произведение делилось на простое число \(p\), то хотя бы один из множителей делился бы на \(p\). Но по условию каждое из чисел даёт при делении на \(p\) ненулевой остаток, то есть ни одно из них на \(p\) не делится. Например, остаток произведения \(12 \cdot 13 = 156\) при делении на 5 такой же, как у числа \(2 \cdot 3 = 6\), то есть равен 1.
Ответ: разность делится на это простое число, если данные числа дают одинаковые остатки, и не делится, если остатки разные; произведение на это простое число не делится.
