Контрольные вопросы и задания на странице 148, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
1. Напишите формулу квадрата суммы двух выражений. Приведите пример трёхчлена, который можно представить в виде квадрата суммы.
2. Напишите формулу квадрата разности двух выражений. Приведите пример трёхчлена, который можно представить в виде квадрата разности.
3. Напишите формулу куба суммы двух выражений. Приведите пример применения этой формулы.
4. Напишите формулу куба разности двух выражений. Приведите пример применения этой формулы.
5. Чему равно произведение разности двух выражений и их суммы?
6. Напишите формулу разности квадратов. Приведите пример применения этой формулы.
7. Напишите формулу суммы кубов. Приведите пример применения этой формулы.
8. Напишите формулу разности кубов. Приведите пример применения этой формулы.
\[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.\]
Трёхчлен \(x^2 + 6x + 9\): его крайние члены — квадраты выражений \(x\) и 3, а средний равен их удвоенному произведению \(2 \cdot x \cdot 3 = 6x\).
\[x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x + 3)^2.\]
Ответ: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\); например, \(x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\).
\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.\]
Трёхчлен \(4x^2 - 20xy + 25y^2\): его крайние члены — квадраты одночленов \(2x\) и \(5y\), а средний равен их удвоенному произведению \(2 \cdot 2x \cdot 5y = 20xy\), взятому со знаком минус.
\[4x^2 - 20xy + 25y^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 5y + (5y)^2 = (2x - 5y)^2.\]
Ответ: \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\); например, \(4x^2 - 20xy + 25y^2 = (2x - 5y)^2\).
\[(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.\]
\[\begin{aligned} &(2x + 3)^3 = (2x)^3 + 3 \cdot (2x)^2 \cdot 3 + 3 \cdot 2x \cdot 3^2 + 3^3 = {} \\ &= 8x^3 + 36x^2 + 54x + 27. \end{aligned}\]
Ответ: \((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\); например, \((2x + 3)^3 = 8x^3 + 36x^2 + 54x + 27\).
\[(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3.\]
\[\begin{aligned} &(3x - 2y)^3 = (3x)^3 - 3 \cdot (3x)^2 \cdot 2y + 3 \cdot 3x \cdot (2y)^2 - (2y)^3 = {} \\ &= 27x^3 - 54x^2y + 36xy^2 - 8y^3. \end{aligned}\]
Ответ: \((a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\); например, \((3x - 2y)^3 = 27x^3 - 54x^2y + 36xy^2 - 8y^3\).
\[(a - b)(a + b) = a^2 + ab - ba - b^2 = a^2 - b^2.\]
Например, \((x - 7)(x + 7) = x^2 - 49\).
Это правило упрощает и вычисления: \(58 \cdot 62 = (60 - 2)(60 + 2) = 60^2 - 2^2 = 3600 - 4 = 3596\).
Ответ: произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений: \((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\).
\[a^2 - b^2 = (a - b)(a + b).\]
Оба члена двучлена \(9x^2 - 16y^2\) — квадраты одночленов \(3x\) и \(4y\):
\[9x^2 - 16y^2 = (3x)^2 - (4y)^2 = (3x - 4y)(3x + 4y).\]
Эта формула упрощает и вычисления: \(41^2 - 39^2 = (41 - 39)(41 + 39) = 2 \cdot 80 = 160\).
Ответ: \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\); например, \(9x^2 - 16y^2 = (3x - 4y)(3x + 4y)\).
\[a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2).\]
Оба члена двучлена \(8x^3 + 27\) — кубы: \(8x^3 = (2x)^3\) и \(27 = 3^3\).
\[8x^3 + 27 = (2x)^3 + 3^3 = (2x + 3)((2x)^2 - 2x \cdot 3 + 3^2) = (2x + 3)(4x^2 - 6x + 9).\]
Ответ: \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\); например, \(8x^3 + 27 = (2x + 3)(4x^2 - 6x + 9)\).
\[a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2).\]
Оба члена двучлена \(x^3 - 125\) — кубы: \(x^3\) и \(125 = 5^3\).
\[x^3 - 125 = x^3 - 5^3 = (x - 5)(x^2 + x \cdot 5 + 5^2) = (x - 5)(x^2 + 5x + 25).\]
Ответ: \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\); например, \(x^3 - 125 = (x - 5)(x^2 + 5x + 25)\).
1. Напишите формулу квадрата суммы двух выражений. Приведите пример трёхчлена, который можно представить в виде квадрата суммы.
2. Напишите формулу квадрата разности двух выражений. Приведите пример трёхчлена, который можно представить в виде квадрата разности.
3. Напишите формулу куба суммы двух выражений. Приведите пример применения этой формулы.
4. Напишите формулу куба разности двух выражений. Приведите пример применения этой формулы.
5. Чему равно произведение разности двух выражений и их суммы?
6. Напишите формулу разности квадратов. Приведите пример применения этой формулы.
7. Напишите формулу суммы кубов. Приведите пример применения этой формулы.
8. Напишите формулу разности кубов. Приведите пример применения этой формулы.
Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадратов этих выражений и их удвоенного произведения:
\[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.\]
В виде квадрата суммы можно представить трёхчлен \(x^2 + 6x + 9\): его крайние члены — квадраты выражений \(x\) и 3, а средний член равен удвоенному произведению этих выражений \(2 \cdot x \cdot 3 = 6x\).
\[x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x + 3)^2.\]
Ответ: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\); например, \(x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\).
Квадрат разности двух выражений равен разности суммы квадратов этих выражений и их удвоенного произведения:
\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.\]
В виде квадрата разности можно представить трёхчлен \(4x^2 - 20xy + 25y^2\): его первый и последний члены — квадраты одночленов \(2x\) и \(5y\), а средний член равен удвоенному произведению этих одночленов \(2 \cdot 2x \cdot 5y = 20xy\), взятому со знаком минус.
\[4x^2 - 20xy + 25y^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 5y + (5y)^2 = (2x - 5y)^2.\]
Ответ: \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\); например, \(4x^2 - 20xy + 25y^2 = (2x - 5y)^2\).
Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго, плюс куб второго выражения:
\[(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.\]
Возведём в куб двучлен \(2x + 3\). Подставим в формулу куба суммы \(a = 2x\) и \(b = 3\):
\[\begin{aligned} &(2x + 3)^3 = (2x)^3 + 3 \cdot (2x)^2 \cdot 3 + 3 \cdot 2x \cdot 3^2 + 3^3 = {} \\ &= 8x^3 + 36x^2 + 54x + 27. \end{aligned}\]
Ответ: \((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\); например, \((2x + 3)^3 = 8x^3 + 36x^2 + 54x + 27\).
Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго, минус куб второго выражения:
\[(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3.\]
Возведём в куб двучлен \(3x - 2y\). Подставим в формулу куба разности \(a = 3x\) и \(b = 2y\):
\[\begin{aligned} &(3x - 2y)^3 = (3x)^3 - 3 \cdot (3x)^2 \cdot 2y + 3 \cdot 3x \cdot (2y)^2 - (2y)^3 = {} \\ &= 27x^3 - 54x^2y + 36xy^2 - 8y^3. \end{aligned}\]
Ответ: \((a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\); например, \((3x - 2y)^3 = 27x^3 - 54x^2y + 36xy^2 - 8y^3\).
Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений. В этом убеждает раскрытие скобок: подобные слагаемые \(ab\) и \(-ba\) взаимно уничтожаются.
\[(a - b)(a + b) = a^2 + ab - ba - b^2 = a^2 - b^2.\]
Например, \((x - 7)(x + 7) = x^2 - 49\). Это правило упрощает и вычисления: \(58 \cdot 62 = (60 - 2)(60 + 2) = 60^2 - 2^2 = 3600 - 4 = 3596\).
Ответ: произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений: \((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\).
Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений на их сумму:
\[a^2 - b^2 = (a - b)(a + b).\]
По этой формуле раскладывают двучлены на множители: оба члена двучлена \(9x^2 - 16y^2\) являются квадратами одночленов \(3x\) и \(4y\).
\[9x^2 - 16y^2 = (3x)^2 - (4y)^2 = (3x - 4y)(3x + 4y).\]
Формула разности квадратов упрощает и вычисления: \(41^2 - 39^2 = (41 - 39)(41 + 39) = 2 \cdot 80 = 160\).
Ответ: \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\); например, \(9x^2 - 16y^2 = (3x - 4y)(3x + 4y)\).
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности:
\[a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2).\]
Выражение \(a^2 - ab + b^2\) называется неполным квадратом разности \(a\) и \(b\).
Разложим на множители двучлен \(8x^3 + 27\). Оба его члена — кубы: \(8x^3 = (2x)^3\) и \(27 = 3^3\).
\[8x^3 + 27 = (2x)^3 + 3^3 = (2x + 3)((2x)^2 - 2x \cdot 3 + 3^2) = (2x + 3)(4x^2 - 6x + 9).\]
Ответ: \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\); например, \(8x^3 + 27 = (2x + 3)(4x^2 - 6x + 9)\).
Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы:
\[a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2).\]
Выражение \(a^2 + ab + b^2\) называется неполным квадратом суммы \(a\) и \(b\).
Разложим на множители двучлен \(x^3 - 125\). Оба его члена — кубы: \(x^3\) и \(125 = 5^3\).
\[x^3 - 125 = x^3 - 5^3 = (x - 5)(x^2 + x \cdot 5 + 5^2) = (x - 5)(x^2 + 5x + 25).\]
Ответ: \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\); например, \(x^3 - 125 = (x - 5)(x^2 + 5x + 25)\).
