Страница 147 номер 849, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
В субботу и воскресенье Маша и Вася ходили за грибами. В субботу Маша собрала на 10 % меньше грибов, чем Вася, а в воскресенье — на 25 % больше, чем Вася. За два дня Маша собрала на 5 % больше грибов, чем Вася. Какое наименьшее число грибов они могли собрать вместе?
Дано:
в субботу Маша собрала на 10 % меньше грибов, чем Вася
в воскресенье Маша собрала на 25 % больше грибов, чем Вася
за два дня Маша собрала на 5 % больше грибов, чем Вася
Найти: наименьшее число грибов, которое Маша и Вася могли собрать вместе.
Решение:
Условия связывают сборы только процентами, поэтому важно лишь отношение субботнего и воскресного сборов Васи: примем их за 100 и \(x\) грибов.
Маша собрала \(0{,}9 \cdot 100 = 90\) грибов в субботу и \(1{,}25x\) грибов в воскресенье.
За два дня у Васи \((100 + x)\) грибов, у Маши — \(1{,}05 \cdot (100 + x)\) грибов:
\[\begin{aligned} 90 + 1{,}25x &= 1{,}05 \cdot (100 + x); \\ 90 + 1{,}25x &= 105 + 1{,}05x; \\ 1{,}25x - 1{,}05x &= 105 - 90; \\ 0{,}2x &= 15; \\ x &= 75. \end{aligned}\]
Сборы Васи относятся как \(100 : 75 = 4 : 3\): в субботу \(4k\) грибов, в воскресенье \(3k\) грибов, где \(k = 4k - 3k\) — натуральное число.
Маша собрала \(0{,}9 \cdot 4k = 3{,}6k\) грибов в субботу и \(1{,}25 \cdot 3k = 3{,}75k\) грибов в воскресенье; грибы считают штуками, поэтому натуральны и эти числа, и \(0{,}6k = \frac{3k}{5}\), \(0{,}75k = \frac{3k}{4}\), а числитель 3 общих делителей, кроме единицы, ни с 5, ни с 4 не имеет — значит, \(k\) делится и на 5, и на 4.
Среди кратных 5 чисел первое, которое делится на 4, — это 20, поэтому наименьшее значение \(k\) равно 20, а чем больше \(k\), тем больше грибов собрано.
При \(k = 20\) Вася собрал \(4 \cdot 20 = 80\) грибов в субботу и \(3 \cdot 20 = 60\) грибов в воскресенье, всего \(80 + 60 = 140\) (грибов).
Маша собрала \(0{,}9 \cdot 80 = 72\) гриба в субботу и \(1{,}25 \cdot 60 = 75\) грибов в воскресенье, всего \(72 + 75 = 147\) (грибов).
\(140 + 147 = 287\) (грибов) — собрали вместе.
Проверка: \(147 : 140 = 1{,}05\) — за два дня Маша собрала на 5 % больше грибов, чем Вася.
Ответ: 287 грибов.
В субботу и воскресенье Маша и Вася ходили за грибами. В субботу Маша собрала на 10 % меньше грибов, чем Вася, а в воскресенье — на 25 % больше, чем Вася. За два дня Маша собрала на 5 % больше грибов, чем Вася. Какое наименьшее число грибов они могли собрать вместе?
Дано:
в субботу Маша собрала на 10 % меньше грибов, чем Вася
в воскресенье Маша собрала на 25 % больше грибов, чем Вася
за два дня Маша собрала на 5 % больше грибов, чем Вася
Найти: наименьшее число грибов, которое Маша и Вася могли собрать вместе.
Решение:
Все условия задачи связывают сборы Маши и Васи только в процентах, поэтому важно лишь то, как относятся друг к другу субботний и воскресный сборы Васи. Найдём это отношение: примем субботний сбор Васи за 100 грибов, а его воскресный сбор обозначим через \(x\) грибов.
В субботу Маша собрала на 10 % меньше Васи, то есть \(0{,}9 \cdot 100 = 90\) грибов, а в воскресенье — на 25 % больше Васи, то есть \(1{,}25x\) грибов.
За два дня Вася собрал \((100 + x)\) грибов, а Маша — на 5 % больше, то есть \(1{,}05 \cdot (100 + x)\) грибов. Составим уравнение и решим его:
\[\begin{aligned} 90 + 1{,}25x &= 1{,}05 \cdot (100 + x); \\ 90 + 1{,}25x &= 105 + 1{,}05x; \\ 1{,}25x - 1{,}05x &= 105 - 90; \\ 0{,}2x &= 15; \\ x &= 75. \end{aligned}\]
Воскресный сбор Васи составляет 75 % субботнего, поэтому субботний и воскресный сборы Васи относятся как \(100 : 75 = 4 : 3\).
Разделим субботний сбор Васи на 4 равные части; тогда воскресный сбор состоит из 3 таких же частей. Пусть в одной части \(k\) грибов: в субботу Вася собрал \(4k\) грибов, а в воскресенье — \(3k\) грибов. Сборы Васи выражаются натуральными числами, причём субботний сбор больше воскресного, поэтому их разность \(4k - 3k = k\) — тоже натуральное число.
Маша собрала в субботу \(0{,}9 \cdot 4k = 3{,}6k\) грибов, а в воскресенье \(1{,}25 \cdot 3k = 3{,}75k\) грибов. Грибы считают штуками, поэтому оба эти числа тоже натуральные.
Число \(3{,}6k = 3k + 0{,}6k\) натуральное, значит, натуральное и число \(0{,}6k = \frac{3k}{5}\). Числитель 3 не имеет с числом 5 общих делителей, кроме единицы, поэтому на 5 делится \(k\).
Число \(3{,}75k = 3k + 0{,}75k\) натуральное, значит, натуральное и число \(0{,}75k = \frac{3k}{4}\). Числитель 3 не имеет с числом 4 общих делителей, кроме единицы, поэтому на 4 делится \(k\).
Среди чисел, кратных 5, — 5, 10, 15, 20 — первое, которое делится на 4, — это 20. Значит, наименьшее возможное значение \(k\) равно 20, и чем больше \(k\), тем больше грибов собрано.
При \(k = 20\) Вася собрал в субботу \(4 \cdot 20 = 80\) грибов, а в воскресенье \(3 \cdot 20 = 60\) грибов, то есть \(80 + 60 = 140\) (грибов) за два дня.
Маша собрала в субботу \(0{,}9 \cdot 80 = 72\) гриба, а в воскресенье \(1{,}25 \cdot 60 = 75\) грибов, то есть \(72 + 75 = 147\) (грибов) за два дня.
Вместе ребята собрали \(140 + 147 = 287\) (грибов).
Проверка: \(147 : 140 = 1{,}05\) — за два дня Маша собрала на 5 % больше грибов, чем Вася.
Ответ: 287 грибов.
