Страница 46 номер 5.21, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Сравните: 1) \(\log_{4} 5\) и \(\log_{5} 4\); 2) \(\log_{1{,}5} 1{,}3\) и \(\log_{1{,}3} 1{,}5\); 3) \(\log_{0{,}7} 0{,}8\) и \(\log_{0{,}8} 0{,}7\); 4) \(\log_{0{,}2} 0{,}1\) и \(\log_{0{,}1} 0{,}2\).
В каждой паре основание одного логарифма служит аргументом другого, поэтому сравним каждое из двух чисел с единицей: \(\log_{a} a = 1\).
1) Основание \(4 > 1\) — функция возрастающая, и из \(5 > 4\) получаем \(\log_{4} 5 > \log_{4} 4\), то есть \(\log_{4} 5 > 1\).
Основание \(5 > 1\) — функция возрастающая, и из \(4 < 5\) получаем \(\log_{5} 4 < \log_{5} 5\), то есть \(\log_{5} 4 < 1\).
Следовательно, \(\log_{4} 5 > 1 > \log_{5} 4\).
2) Основание \(1{,}5 > 1\) — функция возрастающая, и из \(1{,}3 < 1{,}5\) получаем \(\log_{1{,}5} 1{,}3 < 1\).
Основание \(1{,}3 > 1\) — функция возрастающая, и из \(1{,}5 > 1{,}3\) получаем \(\log_{1{,}3} 1{,}5 > 1\).
Следовательно, \(\log_{1{,}5} 1{,}3 < 1 < \log_{1{,}3} 1{,}5\).
3) Основание \(0{,}7\) меньше единицы — функция убывающая, и из \(0{,}8 > 0{,}7\) получаем \(\log_{0{,}7} 0{,}8 < 1\).
Основание \(0{,}8\) меньше единицы — функция убывающая, и из \(0{,}7 < 0{,}8\) получаем \(\log_{0{,}8} 0{,}7 > 1\).
Следовательно, \(\log_{0{,}7} 0{,}8 < 1 < \log_{0{,}8} 0{,}7\).
4) Основание \(0{,}2\) меньше единицы — функция убывающая, и из \(0{,}1 < 0{,}2\) получаем \(\log_{0{,}2} 0{,}1 > 1\).
Основание \(0{,}1\) меньше единицы — функция убывающая, и из \(0{,}2 > 0{,}1\) получаем \(\log_{0{,}1} 0{,}2 < 1\).
Следовательно, \(\log_{0{,}2} 0{,}1 > 1 > \log_{0{,}1} 0{,}2\).
Ответ: 1) \(\log_{4} 5 > \log_{5} 4\); 2) \(\log_{1{,}5} 1{,}3 < \log_{1{,}3} 1{,}5\); 3) \(\log_{0{,}7} 0{,}8 < \log_{0{,}8} 0{,}7\); 4) \(\log_{0{,}2} 0{,}1 > \log_{0{,}1} 0{,}2\).
Сравните: 1) \(\log_{4} 5\) и \(\log_{5} 4\); 2) \(\log_{1{,}5} 1{,}3\) и \(\log_{1{,}3} 1{,}5\); 3) \(\log_{0{,}7} 0{,}8\) и \(\log_{0{,}8} 0{,}7\); 4) \(\log_{0{,}2} 0{,}1\) и \(\log_{0{,}1} 0{,}2\).
В каждой паре основание одного логарифма служит аргументом другого, поэтому сравним каждое из двух чисел с единицей, пользуясь равенством \(\log_{a} a = 1\).
1) Функция \(y = \log_{4} x\) возрастающая, так как \(4 > 1\). Из неравенства \(5 > 4\) получаем \(\log_{4} 5 > \log_{4} 4\), то есть \(\log_{4} 5 > 1\).
Функция \(y = \log_{5} x\) возрастающая, так как \(5 > 1\). Из неравенства \(4 < 5\) получаем \(\log_{5} 4 < \log_{5} 5\), то есть \(\log_{5} 4 < 1\).
Следовательно, \(\log_{4} 5 > 1 > \log_{5} 4\).
2) Функция \(y = \log_{1{,}5} x\) возрастающая, так как \(1{,}5 > 1\). Из неравенства \(1{,}3 < 1{,}5\) получаем \(\log_{1{,}5} 1{,}3 < \log_{1{,}5} 1{,}5\), то есть \(\log_{1{,}5} 1{,}3 < 1\).
Функция \(y = \log_{1{,}3} x\) возрастающая, так как \(1{,}3 > 1\). Из неравенства \(1{,}5 > 1{,}3\) получаем \(\log_{1{,}3} 1{,}5 > \log_{1{,}3} 1{,}3\), то есть \(\log_{1{,}3} 1{,}5 > 1\).
Следовательно, \(\log_{1{,}5} 1{,}3 < 1 < \log_{1{,}3} 1{,}5\).
3) Функция \(y = \log_{0{,}7} x\) убывающая, так как \(0 < 0{,}7 < 1\). Из неравенства \(0{,}8 > 0{,}7\) получаем \(\log_{0{,}7} 0{,}8 < \log_{0{,}7} 0{,}7\), то есть \(\log_{0{,}7} 0{,}8 < 1\).
Функция \(y = \log_{0{,}8} x\) убывающая, так как \(0 < 0{,}8 < 1\). Из неравенства \(0{,}7 < 0{,}8\) получаем \(\log_{0{,}8} 0{,}7 > \log_{0{,}8} 0{,}8\), то есть \(\log_{0{,}8} 0{,}7 > 1\).
Следовательно, \(\log_{0{,}7} 0{,}8 < 1 < \log_{0{,}8} 0{,}7\).
4) Функция \(y = \log_{0{,}2} x\) убывающая, так как \(0 < 0{,}2 < 1\). Из неравенства \(0{,}1 < 0{,}2\) получаем \(\log_{0{,}2} 0{,}1 > \log_{0{,}2} 0{,}2\), то есть \(\log_{0{,}2} 0{,}1 > 1\).
Функция \(y = \log_{0{,}1} x\) убывающая, так как \(0 < 0{,}1 < 1\). Из неравенства \(0{,}2 > 0{,}1\) получаем \(\log_{0{,}1} 0{,}2 < \log_{0{,}1} 0{,}1\), то есть \(\log_{0{,}1} 0{,}2 < 1\).
Следовательно, \(\log_{0{,}2} 0{,}1 > 1 > \log_{0{,}1} 0{,}2\).
Ответ: 1) \(\log_{4} 5 > \log_{5} 4\); 2) \(\log_{1{,}5} 1{,}3 < \log_{1{,}3} 1{,}5\); 3) \(\log_{0{,}7} 0{,}8 < \log_{0{,}8} 0{,}7\); 4) \(\log_{0{,}2} 0{,}1 > \log_{0{,}1} 0{,}2\).
