Страница 46 номер 5.20, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Между какими двумя последовательными целыми числами находится на координатной прямой число: 1) \(\log_{2} 29\); 2) \(\log_{\frac{1}{2}} 9\)?
1) \(4 = \log_{2} 2^{4} = \log_{2} 16\) и \(5 = \log_{2} 2^{5} = \log_{2} 32\). Основание \(2 > 1\) — функция возрастающая, и из неравенств \(16 < 29 < 32\) получаем \(4 < \log_{2} 29 < 5\).
2) \(-3 = \log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = \log_{\frac{1}{2}} 8\) и \(-4 = \log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{1}{2}\right)^{-4} = \log_{\frac{1}{2}} 16\). Основание меньше единицы — функция убывающая, поэтому большему аргументу отвечает меньшее значение: из неравенств \(8 < 9 < 16\) получаем \(-3 > \log_{\frac{1}{2}} 9 > -4\), то есть \(-4 < \log_{\frac{1}{2}} 9 < -3\).
Ответ: 1) \(4 < \log_{2} 29 < 5\); 2) \(-4 < \log_{\frac{1}{2}} 9 < -3\).
Между какими двумя последовательными целыми числами находится на координатной прямой число: 1) \(\log_{2} 29\); 2) \(\log_{\frac{1}{2}} 9\)?
Целые числа, между которыми лежит логарифм, запишем логарифмами по тому же основанию: \(b = \log_{a} a^{b}\).
1) \(4 = \log_{2} 2^{4} = \log_{2} 16\) и \(5 = \log_{2} 2^{5} = \log_{2} 32\). Функция \(y = \log_{2} x\) возрастающая, так как \(2 > 1\). Так как \(16 < 29 < 32\), то \(\log_{2} 16 < \log_{2} 29 < \log_{2} 32\), то есть \(4 < \log_{2} 29 < 5\).
2) \(-3 = \log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = \log_{\frac{1}{2}} 8\) и \(-4 = \log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{1}{2}\right)^{-4} = \log_{\frac{1}{2}} 16\). Функция \(y = \log_{\frac{1}{2}} x\) убывающая, так как её основание меньше единицы, поэтому большему аргументу отвечает меньшее значение. Так как \(8 < 9 < 16\), то \(\log_{\frac{1}{2}} 8 > \log_{\frac{1}{2}} 9 > \log_{\frac{1}{2}} 16\), то есть \(-3 > \log_{\frac{1}{2}} 9 > -4\). Значит, \(-4 < \log_{\frac{1}{2}} 9 < -3\).
Ответ: 1) \(4 < \log_{2} 29 < 5\); 2) \(-4 < \log_{\frac{1}{2}} 9 < -3\).
