Страница 46 номер 5.19, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Между какими двумя последовательными целыми числами находится на координатной прямой число: 1) \(\log_{3} 10\); 2) \(\log_{2} 5\); 3) \(\log_{\frac{1}{3}} 7\); 4) \(\log_{0{,}1} 2\)?
1) \(2 = \log_{3} 9\) и \(3 = \log_{3} 27\). Основание \(3 > 1\) — функция возрастающая, и из неравенств \(9 < 10 < 27\) получаем \(2 < \log_{3} 10 < 3\).
2) \(2 = \log_{2} 4\) и \(3 = \log_{2} 8\). Функция возрастающая, и из неравенств \(4 < 5 < 8\) получаем \(2 < \log_{2} 5 < 3\).
3) \(-1 = \log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = \log_{\frac{1}{3}} 3\) и \(-2 = \log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = \log_{\frac{1}{3}} 9\). Основание меньше единицы — функция убывающая, поэтому большему аргументу отвечает меньшее значение: из неравенств \(3 < 7 < 9\) получаем \(-1 > \log_{\frac{1}{3}} 7 > -2\), то есть \(-2 < \log_{\frac{1}{3}} 7 < -1\).
4) \(0 = \log_{0{,}1} 1\) и \(-1 = \log_{0{,}1} 0{,}1^{-1} = \log_{0{,}1} 10\). Функция убывающая, поэтому из неравенств \(1 < 2 < 10\) получаем \(0 > \log_{0{,}1} 2 > -1\), то есть \(-1 < \log_{0{,}1} 2 < 0\).
Ответ: 1) \(2 < \log_{3} 10 < 3\); 2) \(2 < \log_{2} 5 < 3\); 3) \(-2 < \log_{\frac{1}{3}} 7 < -1\); 4) \(-1 < \log_{0{,}1} 2 < 0\).
Между какими двумя последовательными целыми числами находится на координатной прямой число: 1) \(\log_{3} 10\); 2) \(\log_{2} 5\); 3) \(\log_{\frac{1}{3}} 7\); 4) \(\log_{0{,}1} 2\)?
Целые числа, между которыми лежит логарифм, запишем логарифмами по тому же основанию: \(b = \log_{a} a^{b}\). Дальше работает монотонность логарифмической функции.
1) \(2 = \log_{3} 9\) и \(3 = \log_{3} 27\). Функция \(y = \log_{3} x\) возрастающая, так как \(3 > 1\). Так как \(9 < 10 < 27\), то \(\log_{3} 9 < \log_{3} 10 < \log_{3} 27\), то есть \(2 < \log_{3} 10 < 3\).
2) \(2 = \log_{2} 4\) и \(3 = \log_{2} 8\). Функция \(y = \log_{2} x\) возрастающая. Так как \(4 < 5 < 8\), то \(\log_{2} 4 < \log_{2} 5 < \log_{2} 8\), то есть \(2 < \log_{2} 5 < 3\).
3) \(-1 = \log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = \log_{\frac{1}{3}} 3\) и \(-2 = \log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = \log_{\frac{1}{3}} 9\). Функция \(y = \log_{\frac{1}{3}} x\) убывающая, так как её основание меньше единицы, поэтому большему аргументу отвечает меньшее значение. Так как \(3 < 7 < 9\), то \(\log_{\frac{1}{3}} 3 > \log_{\frac{1}{3}} 7 > \log_{\frac{1}{3}} 9\), то есть \(-1 > \log_{\frac{1}{3}} 7 > -2\). Значит, \(-2 < \log_{\frac{1}{3}} 7 < -1\).
4) \(0 = \log_{0{,}1} 1\) и \(-1 = \log_{0{,}1} 0{,}1^{-1} = \log_{0{,}1} 10\). Функция \(y = \log_{0{,}1} x\) убывающая. Так как \(1 < 2 < 10\), то \(\log_{0{,}1} 1 > \log_{0{,}1} 2 > \log_{0{,}1} 10\), то есть \(0 > \log_{0{,}1} 2 > -1\). Значит, \(-1 < \log_{0{,}1} 2 < 0\).
Ответ: 1) \(2 < \log_{3} 10 < 3\); 2) \(2 < \log_{2} 5 < 3\); 3) \(-2 < \log_{\frac{1}{3}} 7 < -1\); 4) \(-1 < \log_{0{,}1} 2 < 0\).
