Страница 46 номер 5.18, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Сравните: 1) \(\log_{0{,}1} 12\) и 1; 2) \(\log_{4} 3\) и \(-\frac{1}{2}\); 3) \(\frac{2}{3}\) и \(\log_{125} 30\).
1) \(1 = \log_{0{,}1} 0{,}1\). Основание меньше единицы — функция убывающая, и из неравенства \(12 > 0{,}1\) получаем \(\log_{0{,}1} 12 < 1\).
2) \(4^{\frac{1}{2}} = 2\), поэтому \(4^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\) и \(-\frac{1}{2} = \log_{4} \frac{1}{2}\). Основание \(4 > 1\) — функция возрастающая, и из неравенства \(3 > \frac{1}{2}\) получаем \(\log_{4} 3 > -\frac{1}{2}\).
3) \(125^{\frac{2}{3}} = \left(5^{3}\right)^{\frac{2}{3}} = 5^{2} = 25\), поэтому \(\frac{2}{3} = \log_{125} 25\). Основание \(125 > 1\) — функция возрастающая, и из неравенства \(25 < 30\) получаем \(\frac{2}{3} < \log_{125} 30\).
Ответ: 1) \(\log_{0{,}1} 12 < 1\); 2) \(\log_{4} 3 > -\frac{1}{2}\); 3) \(\frac{2}{3} < \log_{125} 30\).
Сравните: 1) \(\log_{0{,}1} 12\) и 1; 2) \(\log_{4} 3\) и \(-\frac{1}{2}\); 3) \(\frac{2}{3}\) и \(\log_{125} 30\).
Число, с которым сравнивают логарифм, запишем логарифмом по тому же основанию, пользуясь равенством \(b = \log_{a} a^{b}\).
1) \(1 = \log_{0{,}1} 0{,}1\). Функция \(y = \log_{0{,}1} x\) убывающая, так как её основание меньше единицы. Так как \(12 > 0{,}1\), то \(\log_{0{,}1} 12 < \log_{0{,}1} 0{,}1\), то есть \(\log_{0{,}1} 12 < 1\).
2) \(-\frac{1}{2} = \log_{4} 4^{-\frac{1}{2}}\), причём \(4^{\frac{1}{2}} = 2\), поэтому \(4^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\) и \(-\frac{1}{2} = \log_{4} \frac{1}{2}\). Функция \(y = \log_{4} x\) возрастающая, так как \(4 > 1\). Так как \(3 > \frac{1}{2}\), то \(\log_{4} 3 > \log_{4} \frac{1}{2}\), то есть \(\log_{4} 3 > -\frac{1}{2}\).
3) \(\frac{2}{3} = \log_{125} 125^{\frac{2}{3}}\), причём \(125^{\frac{2}{3}} = \left(5^{3}\right)^{\frac{2}{3}} = 5^{2} = 25\), поэтому \(\frac{2}{3} = \log_{125} 25\). Функция \(y = \log_{125} x\) возрастающая, так как \(125 > 1\). Так как \(25 < 30\), то \(\log_{125} 25 < \log_{125} 30\), то есть \(\frac{2}{3} < \log_{125} 30\).
Ответ: 1) \(\log_{0{,}1} 12 < 1\); 2) \(\log_{4} 3 > -\frac{1}{2}\); 3) \(\frac{2}{3} < \log_{125} 30\).
